Математика. Лаб. практикум. Ч

−0,0017 −(x

+0,1371) +0,5083(y −0,5376) =0;

−x

+0,5083y

= 0,4121;

2

2

2

2

0,0011

+0,8439(x2 +0,1371) + y2 −0,5376 =0.

0,8439x2 + y2

= 0,4208.

0,4121

0,5083

x2

=

0,4208

1

=

0,4121−0,5083 0,4208

≈

0,1982 ≈ −0,1387;

−1

0,5083

−1−0,5083 0,8439

−1,4289

0,8439

1

−1

0,4121

y2

=

0,8439

0,4208

=

−0,4208 −0,4121 0,8439

≈

−0,7686

≈ 0,5379.

−1

0,5083

−1−0,5083 0,8439

−1,4289

0,8439

1

Шаг 3.

Формулы (4) при n = 2

таковы:

F (x

, y

2

)+ F′(x

, y

2

)(x − x

2

)+ F′(x

, y

2

)(y

3

− y

2

)= 0;

2

x 2

3

y 2

(8)

−0,0004 −(x +0,1387) +0,5080( y

−0,5379) =0;

−x +0,508y

= 0,4123;

3

3

3

3

0,0003+0,8430(x3 +0,1387) + y3 −0,5379 =0.

0,8432x3 + y3 = 0,4207.

Решим ее по формулам Крамера:

0,4123

0,5080

x =

0,4207

1

=

0,4123 −0,5080 0,4207

≈

0,1986 ≈ −0,1390;

−1

0,5080

− −

3

0,5080

0,8432

−

1

1,4283

0,8432

1

−1

0,4123

y3 =

0,8432

0,4207

=

−0,4207 −0,4123 0,8432 ≈ −0,7684

≈ 0,5379.

−1

0,5080

−1−0,5080 0,8432

−1,4283

0,8432

1

n

xn

yn

0

– 0,2

0,6

1

–0,1371

0,5376

2

–0,1387

0,5379

3

–0,1390

0,5379

13

Лабораторная работа № 3. Численное интегрирование

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

первого

порядка методами Эйлера,

Эйлера-Коши,

Рунге-Кутта.

1 Постановка задачи.

Найти решение дифференциального уравнения

y′ = f (x, y) ,

(1)

удовлетворяющее начальному условию

y (x0 )= y0 .

(2)

[x0 ;b]

Составить таблицу значений частного решения с шагом h

на отрезке

и точностью ε =10−2

, воспользовавшись методами Эйлера, Эйлера-

Коши, Рунге-Кутта. Решить задачу Коши (1)–(2) точно (если это возможно).

2 Варианты заданий.

Варианты заданий приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Варианты заданий

Номер

f (x, y )

х0

y0

b

Номер

f (x, y )

x0

y0

b

варианта

варианта

y

1

ex − 1 y

0,3

2

1,8

16

0

4

1,5

2

2 − x

2

y +e−2 x

0,5

0,8

1,5

17

x − y

0,5

-1

1,7

x

2x +1

3

1,5

0,7

2

18

e y

1

0,2

1,8

2ey

2x −1

4

e−x + 2 y

0

0,5

1,5

19

3x2 + y

1

2

1,8

2x

5

(1+ x) e− y

0,4

1

1,9

20

x2 + y

1,5

-0,5

3

y − 2x

x

6

0,2

-1

1,2

21

(

x +

1

2

− y

0

1

1,6

y

)

7

(2 y +1) ctg x

1

0,5

1,5

22

2 y

2

1

3

x3

8

y

3

0,5

4,5

23

x2 e− y

0,2

0,5

1,7

2 x

2 − x

9

x2 + y

0,3

-2

1,3

24

1,5

0,8

3

y

10

3y

1

0,5

2

25

1

0,4

2

1,4

x + x

y + e−2 x

11

1 −2 y

1,2

0,4

2

26

23

−

3y

1

1

2

x

x

x

12

y2 (x −1)

0,8

1

1,8

27

2

y ln x

1

4

1,5

13

y − y

0,5

-2

2

28

y2e−x

0,5

1

1,5

x

(1+ y)

14

x2 − y2

0,5

1,2

2

29

1

-2

2

y

e2 x

15

xy − y2

2

-1

3

30

x − y3

0,5

2

1,5

y

2

15

xk +1 = xk + h

(k =

).

(8)

0,n −1

Приближенное значение решения (5) в узле xk +1

будем вычислять по

формуле

+ h f (xk , yk ) .

yk +1 = yk

(9)

Формулы (6)–(9) – расчетные формулы метода Эйлера.

Вычисляя по формулам (6)–(9), найдем xk , yk

(k =

). Решение (5)

1,n

представим таблицей 2.

Таблица 2

k

0

1

2

3

…

n

xk

x0

x1

x2

x3

…

xn

yk

y

0

y

y

2

y

3

…

y

n

1

3.3 Решение задачи (3)–(4) методом Эйлера.

Решив неравенство h2 ≤ 0,01 , выберем начальный шаг h = 0,1 .

Тогда n =

b − x0

= 1−0 =10 ;

f (x, y)

= 2x − y , x = 0 ,

y

0

= −1 .

h

0,1

0

Проводя вычисления по формулам (8) и (9) и сохраняя один запасной

десятичный знак, находим:

k = 0 ;

x1 = x0 +h = 0 +0,1 = 0,1 ;

y1 = y0 + h f (x0 , y0 )= −1+0,1 (2 0 +1)= −1+0,1 = −0,9 ;

k =1 ;

x2

= x1 +h = 0,1+0,1 = 0,2 ;

y2

= y1 + h f (x1, y1 )= −0,9 +0,1 (2 0,1+0,9)= −0,79 ;

k = 2 ;

x2

= x2 +h = 0,2 +0,1 = 0,3 ;

y3 = y2 + h f (x2 , y2 )= −0,79 +0,1 (2 0,2 +0,79)= −0,671;

k = 3 ;

x4

= x3 + h = 0,3 +0,1 = 0,4 ;

y4

= y3 +h f (x3, y3 )= −0,671+0,1 (2 0,3+0,671)≈ −0,544;

k = 4 ;

x5 = x4 +h = 0,4 +0,1 = 0,5 ;

y5 = y4 +h f (x4 , y4 )= −0,544 +0,1 (2 0,4 +0,544)≈ −0,510

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xk

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

yk

–1

–0,9

–0,79

–0,67

–0,54

–0,51

h3 ≤ ε .

(10)

Тогда

b − x0

n

=

N ,

(11)

h

xk +1 = xk + h

(k =

).

(12)

0,n −1

yk(0+)1 = yk + hf (xk , yk );

h

(f (xk , yk )

(m)

(m−1)

(13)

yk +1 = yk +

2

+ f (xk +1, yk +1

));

k =

0,n −1;

m =1, 2, 3, ...,

где yk(0+)1

– нулевое приближение к

yk +1 =ϕ (xk +1 );

yk(m+1)

– m -е приближение к yk +1

(m =1, 2, ...).

Вычисление yk +1 прекращаем, когда выполнится неравенство

yk(m+1) − yk(m+1−1)

≤ ε.

(14)

Если неравенство (14) выполнено, то получаем yk +1 ≈ yk(m+1) .

Формулы (10)–(14) – расчетные формулы метода Эйлера-Коши.

Вычисляя по формулам (12) и (13), найдем xk и yk

(k =

); реше-

1,n

ние (5) представим в таблице 2.

4.3 Решение задачи (3)–(4) методом Эйлера-Коши.

Выберем шаг, решив неравенство h3 ≤ 0,01 ; h ≤ 3 0,01 ;

h ≤ 0,215 .

Пусть h = 0,2 , тогда

n =

b − x0

= 1−0

= 5 N .

h

0,2

При этом

f (x, y)= 2x − y ; x0

= 0 ;

y0

= −1.

Проводя вычисления по формулам (12) и (13), будем сохранять один

запасной десятичный знак.

Шаг 1. Полагая в формулах (12) и (13)

k = 0 , вычислим x1 и y1 .

x1 = x0 + h = 0 +0,2 = 0,2;

y(0)

= y

0

+ h f (x , y

0

)= −1+0,2 (2 0 +1)= −1+0,2 1 = −0,8;

1

0

y1(1) = y0

+ h

(f (x0 , y0 )+ f (x1, y1(0) ))= −1+0,1 (1+ 2 0,2 +0,8)= −0,78;

2

y1(2) = y0 + h

(f (x0 , y0 )+ f

(x1, y1(1) ))= −1+0,1 (1+ 2 0,2 +0,78)= −0,782.

2

Так как

y(2)

− y(1)

=

−0,782 +0,78

= 0,002 < 0,01 , то

y

≈ −0,782 .

1

1

1

Шаг 2.

Полагая в формулах (12) и (13)

k =1, вычислим x2 и y2 .

x2 = x1 + h = 0,2 +0,2 = 0,4;

Формулы (15)–(18) – расчетные формулы метода Рунге-Кутта.

Вычисляя по формулам (17) и (18), найдем xk

и yk

(k =

); реше-

1,n

ние (5) представим в таблице 2.

5.3 Решение задачи (3)–(4) методом Рунге-Кутта.

Решая неравенство h2

≤ 0,01 , h ≤ 5 0,01 , h ≤ 0,398 ,

выберем h .

Пусть h = 0,25 , тогда

n =

b − x0

=

1−0 = 4 N .

h

0,25

f (x, y )= 2x − y ;

x0 = 0 ;

y0 = −1 .

Далее вычисляем по формулам (17) и (18), сохраняя один запасной

десятичный знак.

Шаг 1. Вычислим x1 , y1

по формулам (17) и (18) при

k = 0 .

x1 = x0 + h = 0 +0,25 = 0,25;

g(0) = h f (x

, y

0

)= 0,25 (2 0 +1)= 0,25;

1

0

(0)

+

h

g(0)

=0,25 f

0,25

, −1+

0,25

=

g2

=h f x0

2

, y0 +

1

0+

2

2

2

= 0,25 (2 0,125+0,875)≈0,281;

(0)

+

h

,y0 +

g(0)

0 +

0,25

,

−1+

0,281

=

g3

= h f x0

2

2

=0,25 f

2

2

2

y0

=

1 (g1(0) +2g2(0) +2g3(0) + g4(0))

=

1 (0,25 +2 0,281+2 0,277 +0,306)≈0,279;

6

6

y1 = y0 +

y0

= −1+0,279 = −0,711.

Следовательно, y1 =ϕ (x1 )=ϕ (0,25)≈ −0,711.

Шаг 2. Вычислим x2 ,

y2

по формулам (17) и (18) при k =1 .