- •Тема: Границя функції неперервного аргументу.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної. Тема: Похідна функції
- •Тема: Обчислення похідної функції
- •Тема: Похідна складеної функції Теоретичні питання
- •Тема: Диференціювання неявно та параметрично заданих функцій.
- •Тема: Диференціал функції
- •Тема: Похідні та диференціали вищих порядків
- •Тема: Теореми про середнє. Правила Лопіталя Основні означення та теореми
- •Інтегральне числення функції однієї змінної Тема: Основні методи інтегрування
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •Таблиця основних інтегралів
- •Основні методи інтегрування
- •Тема: Інтегрування раціональних дробів
- •Інтеграли від елементарних дробів
- •Тема: Інтегрування ірраціональних виразів. Основні означення та теореми
- •Тема: Інтегрування тригонометричних функцій.
- •Інтегралів на збіжність.
- •Ознаки порівняння
- •Числові ряди
- •1.1. Знакододатні ряди
- •Необхідна умова збіжності числового ряду
- •Достатні умови збіжності знакододатних рядів
- •Зразки розв’язання задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.2. Знакозмінні ряди
- •Зразки розв’язування задач
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Відповіді
Зразки розв’язування задач
1. Записати у вигляді збіжного числового ряду .
Можна вважати, що шукана величина є значенням функції при:
.
Запишемо розвинення в ряд Маклорена логарифмічної функції
,.
Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у степеневий ряд:
.
2. Записати у вигляді збіжного числового ряду .
Спроба представити шукане значення у вигляді є
недоцільною, оскільки не належить області збіжності відповідного ряду, отже, використання цього розвинення неможливе.
Запишемо аргумент функції у вигляді дробу
;;;.
Таким чином, можна вважати, що
.
Представимо логарифм дробу у вигляді степеневого ряду:
,
Тоді .
3. Записати у вигляді збіжного числового ряду .
Можна вважати, що шукана величина є значенням функції при:
.
Запишемо розвинення в ряд Маклорена цієї функції.
,.
Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у степеневий ряд:
.
Ряд можна записати також у такій формі:
.
4. Записати у вигляді збіжного числового ряду .
Спроба представити шукане значення у вигляді є недоцільною, оскількине належить області збіжності біноміального ряду, отже, використання цього розвинення неможливе.
Порівняємо значення аргумента кореня третього степеня з відповідними (третіми) степенями натуральних чисел:
,,;.
Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді
,
який надає можливість скористатися табличним розвиненням:
.
Запишемо відповідне табличне розвинення
,.
Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у отримане розвинення:
.
Ряд можна також записати у такій формі:
.
5. Записати у вигляді збіжного числового ряду .
Порівняємо значення аргументу кореня третього степеня з відповідними (третіми) степенями натуральних чисел:
,,;.
Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді
,
який надає можливість скористатися табличним розвиненням:
.
Запишемо відповідне табличне розвинення
,.
Значення аргументу належить області збіжності наведеного ряду, отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстановкою вказаного значення у отримане розвинення:
.
Зауваження. Спроба записати число 20 у вигляді є недоцільною, оскільки отримане таким чином значення аргументу степеневої функціїлежить за межами області збіжності відповідного ряду.
6. Обчислити з точністю.
Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.
;
.
Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,
.
7. Обчислити з точністю.
Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.
;
Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,
.
Зауваження. При обчисленні значень тригонометричних функцій використовується радіанна міра аргументів.
8. Обчислити з точністю.
Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.
.
Цей ряд на відміну від попередніх є знакосталим, тому необхідно застосувати іншу методику оцінки залишкового члена ряду.
Припустимо, що для забезпечення заданої точності треба залишити членів ряду. Тоді залишковий член ряду відповідає умові
.
Оберемо . Тоді. Очевидно, що обраної кількості членів ряду недостатньо для досягнення заданої точності.
Візьмемо . В цьому випадку, тобто.
Тоді
.
8. Обчислити з точністю.
Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .
; .
Цей ряд збігається на всій множині дійсних чисел.
Тоді
=
.
.
Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,
.
9. Обчислити з точністю.
Підінтегральна функція не визначена при, але, отже, функція є інтегровною на проміжку. Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .
.
Отриманий ряд збігається, якщо , отже його можна почленно інтегрувати на проміжку.
Тоді
;
.
Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,
.