, … - відповідно перший, другий , …. п – ий члени числової послідовності.

Позначення числової послідовності: (у_п), або , або ,

Функція , яка задана на множині натуральних чисел (тобто її областю визначення є множина натуральних чисел), називаєтьсячисловою послідовністю з п – им членом .

Наприклад:1)

2) геометрична прогресія: b₁=2, g=0,5

3) послідовність парних чисел

Основні способи задання числової послідовності:

1) за допомогою формули п – го члена.

2) рекурентний

3)словесний

Існує таке число М>0, що при

Послідовність (у_п) називають обмеженою, якщо значення всіх її членів за модулем не перевищують деякого додатнього числа

Послідовність, для якої виконується нерівність у_n≥-М=Р, , називаєтьсяобмеженою знизу, а послідовність, всі члени якої задовольняють нерівність у_n≤М, , називаютьобмеженою зверху.

Якщо для всіх номерів п виконується нерівність ,

Послідовність (у_п) називається неспадною (незростаючою), якщо значення кожного наступного члена послідовності не менше (не більше) значення попереднього її члена

Якщо значення членів монотонної послідовності (у_п) для всіх номерів n задовольняють строгу нерівність , то послідовність(у_п) називають зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називають також строго монотонними.

Число А називають границею числової послідовності у_п, якщо для будь-якого ε > 0 існує номер члена послідовності N(ε), що для всіх п > N(ε) виконується нерівність .

- збіжна

або не існує, то послідовність розбіжна

Якщо числова послідовність у_п має скінчену границю, то вона називається збіжною. Якщо числова послідовність границі не має, то вона називається розбіжною.

Послідовність у_п=f(n) n=1, 2,.. називається нескінченно малою, якщо члени її послідовності із зростанням п, починаючи з деякого номера, прямують до нуля.

Числова послідовність (у_п) називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатного числа ε існує натуральне число N(ε) таке, що для всіх п > N(ε) виконується .

Теорема. Якщо , то послідовність (α_п)=(у_п-А) є нескінченно малою

Теорема. Якщо різниця між у_п і числом А є нескінченно малою послідовністю, то А є границею послідовності (у_п).

Теорема. Для того, щоб границя числової послідовності дорівнювала числу А необхідно і достатньо, щоб різниця (у_п-А) була нескінченно малою числовою послідовністю.

(у_п-А)=(α_п), де (α_п) – нескінченно мала послідовність.

Число А називається границею числової послідовності (у_п), якщо різниця між у_п і числом А є нескінченно малою послідовністю.

Властивості нескінченно малих послідовностей

1. Алгебраїчна сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність

2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.

3. Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, границя якої відмінна від нуля, є величиною нескінченно малою.

Послідовність (у_п) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число М>0, існує таке число N=N(M), що для всіх n>N виконується нерівність .

Теорема. Якщо (у_п) є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність є нескінченно малою.

Якщо послідовність є нескінченно малою ідля всіхn=1, 2,…, то послідовністьє нескінченно великою.

Існує єдина границя збіжної числової послідовності

, с – сonst

, k – натуральне число

(≠0)

Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.

Теорема 1. Якщо числова послідовність (х_п) має границю, то вона єдина.

Теорема 2. Сума або різниця збіжних числових послідовностей є послідовність збіжна.

Теорема 3. Якщо послідовності (х_п) і (у_п) - збіжні, то їх добуток є послідовність збіжна.

Наслідок: Сталий множник можна виносити за знак границі

Теорема 4. Якщо послідовності (х_п) і (у_п) - збіжні (у_п)≠0, n є N то числова послідовність теж збіжна

Теорема 5. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 6. Будь-яка обмежена та монотонна послідовність збіжна або, будь-яка обмежена зверху (знизу) неспадна (незростаюча) послідовність збіжна.

має місце формула:

має місце формула:

Теореми про граничні переходи.

1. Якщо а>0, а змінна х_п має скінченну границю, то має місце формула

2. Якщо а>0, а змінна х_п приймає лише додатні значення і має границю, що не дорівнює нулю, то можна переходити до границі під знак логарифма.

3. Якщо змінна х_п має скінчену границю, то можна переходити до границі під знак кореня ( у випадку парного числа т припускають, що х_п>0 і корінь шукається арифметичний).

1.

2.

3.

Правило. Для того, щоб обчислити границю числової послідовності при , яка задається як відношення двох многочленіводнієї змінноїп степенів т і к відповідно, і кожен з яких має границю, що дорівнює нескінченності, необхідно порівняти ці степені, якщо:

1. т=к, то границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях заданих многочленів;

2. m<k, то границя дорівнює нулю;

3. m>k, то границя дорівнює нескінченності.

Правило. Для того, щоб обчислити границю числової послідовності при , яка задається як многочлен, який містить ірраціональні вирази, необхідно помножити його та поділити на вираз, спряжений до заданого.

f(x)→А при х→х₀

Геометричний зміст границі. Якщо число А є границею функції y=f(x) при х→х₀, то значення функції як завгодно близько наближаються до числа А, коли значення аргумента х як завгодно близько наближаються до числа х_0.

Якщо

Означення границі функції в точці за Гейне. Нехай функція визначена в околі Х точких₀ крім можливо самої точки х₀. Число А називається границею функції в точціх₀, якщо для будь-якої послідовності (х_п) числові послідовності мають своєю границею числоА.

При виконується,

Означення границі функції в точці за Коші

Нехай функція визначена в околі Х точких_0, крім, можливо, самої точки х₀. Число А називається границею функції в точціх₀, якщо для будь-якого ε>0 існує δ(ε) >0, що для всіх х із околу Х, таких, що , виконується нерівність.

Нехай функція визначена в деякому околі точких₀. Число А називається границею функції зліва (або лівосторонньою) в точці х₀, якщо для будь-якого ε>0 існує δ(ε)>0 таке, що при виконується нерівність.

Нехай функція визначена в деякому околі точких₀. Число b називається границею функції справа (або правосторонньою) в точці х₀, якщо для будь-якого ε>0 існує δ(ε)>0 таке, що при виконується нерівність.

Властивості функцій, які мають границю в точці

Теорема 1. Якщо функція має границю в точціх₀, то ця границя єдина.

Теорема 2 (про граничний перехід у нерівностях). Якщо в деякому околі точки х₀, крім, можливо, самої точки х₀, виконується нерівність f(x)≥0 і існує границя, тоВ≥0.

Наслідок. Якщо в деякому околі точки х₀, крім, можливо, самої точки х₀, виконується нерівністьі функції,мають скінченні границі в точціх₀, тоді .

Теорема 3 (про границю проміжної функції). Нехай функції ,,визначені в околі Х точких₀, крім, можливо, самої точки х₀, і та виконується нерівність. Тодімає границю в точціх₀ і ця границя дорівнює числу А.

Теорема 4. (про границю монотонної функції). Якщо функціямонотонна і обмежена приx<x₀ або при x>x₀, то існує відповідно її ліва границя або її права границя.

Теореми про граничні переходи.

1. Якщо число а>0, а функція f(х) має скінченну границю при х→х₀ , то можна переходити до границі під знак степеня.

має місце формула:

2. Якщо а>0, а функція f(х) приймає лише додатні значення і має границю при х→х₀, що не дорівнює нулю, то можна переходити до границі під знак логарифма.

має місце формула:

3. Якщо функція f(х) має скінченну границю при х→х₀, то можна переходити до границі під знак кореня ( у випадку парного числа т припускають, що f(х)>0 і корінь шукається арифметичний).

4. Якщо існують границі ,причому, то існує границя

Правила обчислення границь функції в точці та на нескінченності

Якщо F(х) = а_nхⁿ + а_n-1x^n-1 + … + а₁x+a₀, то

1. Границя цілої раціональної функції в заданій точці х₀ дорівнює значенню цієї функції в цій точці.

Якщо x→х₀, ,Q(х₀)≠0, то

2. При обчисленні границі дробово-раціональної функції можна в аналітичний вираз функції замість аргумента підставити його граничне значення, якщо при цьому знаменник не перетвориться на нуль.

при умові, що Q₁(х₀)≠0.

3. Для того щоб обчислити границю дробово-раціональної функції у випадку, коли при х→х₀ чисельник та знаменник дробу мають границі, що дорівнюють нулю, необхідно чисельник та знаменник дробу розділити на (х - х₀) и перейти до границі.

Якщо і після цього чисельник та знаменник нового дробу мають границі рівні нулю при х→ х₀, то необхідно виконати повторне ділення на (х – х₀)

4. Для того щоб обчислити границю дробу, що містить ірраціональні вирази у випадку, коли границя і чисельника і знаменника дробу дорівнює нулю, необхідно перенести ірраціональність із чисельника в знаменник або із знаменника в чисельник і після цього виконати необхідні спрощення (зведення подібних членів, скорочення тощо) та перейти до границі.

5. Для того щоб обчислити границю дробово-раціональної функції у випадку, коли при х→∞ чисельник та знаменник дробу мають границі, що дорівнюють нескінченності, необхідно кожен член многочленів чисельника та знаменника дробу розділити на х в найвищому степені та перейти до границі.

6. Для того щоб обчислити границю функції, що містить ірраціональні вирази у випадку, коли кожен з них має нескінченну границю, необхідно помножити та розділити заданий вираз на вираз, спряжений до нього і після цього виконати необхідні спрощення (зведення подібних членів, скорочення тощо) та перейти до границі.

Число А називається границею функції на нескінченності (при ), якщо для будь-якогоε>0 існує М(ε), що для всіх х>М(ε) виконується нерівність .

Число В називається границею функції при х→-∞, якщо для будь-якого ε>0 існує число N(ε), що для всіх х<N(ε) виконується нерівність .

Нехай функція визначена на проміжку (-∞;+∞). ЧислоА називається границею функції на нескінченності (при ), якщо для будь-якогоε>0 існує М(ε)>0, що для всіх |х|>М(ε) виконується нерівність

Перша важлива границя

,

Друга важлива границя

, ,,,.

Наслідки з другої важливої границі

Функція α(x) називається нескінченно малою при х→х_0, якщо для довільного ε>0 існує δ(ε)>0 (М>0), що для всіх х таких, що (|x|>M), виконується нерівність |α(x)|<ε.

Функція f(x) називається нескінченно великою при х→∞_, якщо для довільного М>0 існує таке число N=N(М)>0, що для всіх х таких, що (|x|>M), виконується нерівність |f(x)|>M.

функції α₁(х) та α₂(х) називають нескінченно малими одного порядку при х→х₀

функції α₁(х) називають нескінченно малою вищого порядку, ніж α₂(х) при х→х₀

функції α₁(х) називають нескінченно малою нижчого порядку, ніж α₂(х) при х→х₀

функції α₁(х) називають нескінченно малою к-го порядку відносно α₂(х) при х→х₀

Не існує

нескінченно малі функції α₁(х) та α₂(х) називають непорівнянними при х→х₀

, позначають α₁(х) ~ α₂(х).

Функції α₁(х) та α₂(х) нескінченно малі функції при х→х₀ називають еквівалентними нескінченно малими.

Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій

Теорема 1. Нескінченно малі функції α₁(х) та α₂(х) еквівалентні при х→х₀ тоді і тільки тоді, коли різниця α₁(х)-α₂(х) є нескінченно малою вищого порядку, ніж кожна з функцій α₁(х) та α₂(х).

Теорема 2. Нехай α₁(х) та α₁'(х)_, α₂(х) та α'₂(х) еквівалентні при х→х_{0 .} Якщо існує , то існує й , які рівні між собою.

Справедливими є такі еквівалентності:

х→0 то ,

Теорема 3. Сума скінченого числа нескінченно малих функцій різних порядків еквівалентна доданку нижчого порядку.