2. Функція, симетрична відносно початку координат

f(x)=- f(-x)

При розкладанні функції в ряд Фур’є, вона не буде мати постійної і косинусоїдної складових, а

має тільки синусоїдні складові. Доведемо це:

f(x)=- f(-x); f(x)+ f(-x)=0; f(ωt)+ f(-ωt)=0

Розкладемо в ряд Фур’є функції f(ωt) та f(-ωt), використовуючи вираз (**)

f(ωt)=A₁’sinωt+ A₂’sin2ωt+ A₃’sin3ωt+…+ A₁”cosωt+ A₂” cos 2ωt+ A₃”cos3ωt+…

f(-ωt)=A₁’sin(-ωt)+ A₂’sin(-2ωt)+ A₃’sin(-3ωt)+…+ A₁”cos(-ωt)+ A₂” cos (-2ωt)+ A₃”cos(-3ωt)+…

Оскільки синус-функція не парна, а косинус - парна, то останній вираз можливо записати:

f(-ωt)=A₀- A₁’sin ωt + A₂’sin 2ωt+ A₃’sin 3ωt-…+ A₁”sin ωt + A₂”sin 2ωt+ A₃”sin 3ωt-…

Виконаємо складання: f(ωt)+ f(-ωt)= A₁”cos ωt + A₂”cos 2ωt +…=0

Цей вираз вірний, якщо кожна складова дорівнює нулю.

Розкладання в ряд симетричної відносно початку координат функції має вигляд:

f(ωt)=A₁’sin ωt + A₂’sin 2ωt+ A₃’sin 3ωt+…

В електричних машинах напруга, струм і е.р.с. - функції несинусоїдна і симетричні як відносно вісі абсцис, так і початку координат. Ряд Фур’є при розкладанні цих функцій має розглянуті вище властивості і містить тільки непарні гармоніки, що спрощує розрахунок кіл з несинусоїдними струмами:

f(ωt)=A₁sin ωt + A₃sin 3ωt+ A₅sin 5ωt+…

- 164-

3. Діючі значення змінного струму або напруги визначаються за виразами:

I=; U=

Підставимо в ці вирази значення величин які виражені тригонометричним рядом Фур’є:

I=;

U=;

Опускаючи всі проміжні математичні викладки, приведемо кінцеві вирази для діючих значень

струму і напруги:

I=; U=;

де I₀, U₀ - постійні складові;

I₁, І₂, І₃, U₁, U₂, U₃ - діючі значення окремих гармонік.

Несинесоїдна функція струму (напруги) характеризуються коефіцієнтом скривлень.

Коефіцієнтом скривлень називають відношення діючих значень першої гармошки та всіх функцій:

ku=; k_I=

Чим менший коефіцієнт скривлень відрізняються від одиниці, тим ближча до синусоїди дана крива.

4. Крива миттєвої потужності при несинусоїдному струмі має складну форму, тому визначити потужності S та Q точно неможливо, а активна потужність може бути визначена як і для синусоїдного струму:

P=

Р=Ро+P₁+Р₂+P₃+...+,

тобто активна потужність при несинусоїдному струмі дорівнює сумі активних потужностей складових ряду.

При відсутності постійних складових повну потужність визначають як добуток діючих значень напруги і струму:

S=U*I=

Якщо за аналогією з активною потужністю під реактивною потужністю розуміти алгебраїчну

суму реактивних потужностей окремих гармонік, то

Q' = I₁*U₁sinφ₁+ I₂*U₂sinφ₂+…+ Ik*Uk sinφk.

При цьому S > .

5. Розрахунок електричних кіл з несинусоїдними струмом або напругою зводиться до розрахунку кожної гармонічної функції окремо.

До кола підведена несинусоїдна напруга

U=Um₁ sinωt+Um₁ sin(ωt+φ₃)+ Um₅ sin(ωt+φ₅)

Для визначення рівняння струму необхідно попередньо знайти опори кола для кожної

гармоніки. Якщо знехтувати впливом поверхневого ефекту, то можливо вважати, що активний опір кола від частоти струму не залежить і однаковий для усіх гармонік.

-165-

Індуктивний опір кола для різних гармонік різний, оскільки він прямо пропорційний частоті, тобто зі збільшенням колгера гармошки індуктивний опір збільшується у стільки ж разів:

ХLk = 2πf*k*L, де k - номер гармоніки. Тобто індуктивний опір k -й гармоніки у k разів більший індуктивного опору першої гармоніки.

Ємкісний опір кола зворотно пропорційний частоті, тобто зі збільшенням номера гармоніки ємкісний опір зменшується у стільки ж разів:

хc1=1/2πf1C; Xck=Xc1/k

Повний опір кола для першої гармоніки: z=

Для решти гармонік повний опір визначається аналогічно

z=

Оскільки для всіх гармонік реактивні опори різні, активні опори незмінні, то зсув фаз для кожної гармоніки визначають за відповідними тригонометричними функціями:

tg φ_k= (***)

Якщо функція (***) має знак плюс, то напруга випереджає струм, якщо мінус - струм випереджає напругу. Амплітуду струму першої і послідуючих гармонік знаходять з виразів:

Im₁=Um₁/z₁; Im₃=Um₃/z₃; Im₅=Um₅/z₅

У загальному вигляді Imk =Umk/z_k

Миттєве значення струму в колі визначається за принципом накладання, тобто алгебраїчним складанням миттєвих значень струмів кожної гармоніки.