2. Зарядка конденсатора.

Якщо приєднати конденсатор до джерела постійної напруги на обкладках конденсатора

будуть накопичуватись електричні заряди q , при цьому буде протікати струм

і = dq/dt=c*(dUc/dt), тобто зарядний струм конденсатора пропорційний швидкості змі­ни

напруги на обкладках конденсатора. Щоб виявити характер зміни напруги на

конденсаторі Uс(t) і струму у колі і (t), складемо рівняння за II законом Кірхгофа:

U = іr + Uс, підставимо значення струму у рівняння:

U = с*(dUс/dt)*r + Uс→ U- Uс =(r*с/dt)*dUc

Поділимо змінні і отримаємо dt/(r*с) = dUс/(U-Uс)

Добуток опору і ємкості (r*с = τ) має назву сталої часу кола.

dt/τ =dUс /(U-Uс) (*) [τ] = (Ом*Кл) /В'=(Ом*А*с)/В =с

Проінтегруємо рівняння (*):

∫(dt/τ)= ∫[dUc/(U-Uc)] ; ∫(dt/τ)= -∫[d(U-Uc)/(U-Uc)]

t/τ= - ln(U-Uc)+lnk,

де lnk – стала інтегрування, її значення визначимо з початкових умов:

при t=0 →Uс=0, звідки t/τ =-ln(u-0)+lnk →lnk=lnU→k=U, тобто:

t/τ =-ln(U-Uс)+lnU, або t/τ =ln[U/(U-Uc)]

Підведемо ліву частину рівняння під знак логарифма:

ln е^t/τ =ln[U/(U-Uc)] →е^t/τ =U/(U-Uс)

Звідки виразимо Uс:

Uс=U(1-е^-t/τ ) (**)

Для побудови графіка Uс(t), визначимо значення Uс для моментів часу t₀-t4:

-156-

при t₀=0, Uс=0; при t₁=τ, Uc=0,636U;

при t₂=2τ, Uc=0,85U; при t₃ =3 τ, Uc=0,95U;

при t₄=4 τ , Uс=0,99U,

тобто процес зарядки практично закінчується через (4-5)τ, оскільки τ =rс, то чим більші r та с, тим довше протікає процес зарядки конденсатора.

Спад напруги на резистивному елементі :

U₀=U-Uc=U-U(1-e^-t/τ )=Ue^-t/τ ,

таким чином напруга на резистивному

елементі буде зменшуватись за

експонентою.

Струм, який протікає крізь резистивний

елемент, а відповідно і у всьому колі:

і=Uа/r=Ue^-t/τ /r=і*е^-t/τ,

змінюється також за експонентою, маючи максимум у момент включення кола.

Функції Uс(t) і і(t) при перехідному процесі залежать від прикладеної постійної напруги U та від параметрів r та с.

Прикладена напруга за величиною є тією межею, до якої наближається Uс ,але величина U не впливає на характер кривої Uc(t). Характер зміни кривої визначається параметрами r та с.

Теоретично перехідний процес триває нескінченно довго, оскільки криві досягають своїх асимптот при t=∞. Практично вважають, що перехідний процес закінчується за час, який дорівнює (4-5) τ.

Аналізуючи вираз (**), можливо визначити примусову та вільну складові напруги:

Uс пр=U; Uс віл = -Uе^-t/τ ; Uс=Uс пр+Uс віл

Струм у колі складається тільки з вільної складової: і = і_вільн = Іе^-t/τ

Розряджання конденсатора.

Якщо конденсатор, заряджений до напруги U, з'єднати з будь яким резистивним елементом r, то у колі з'явиться струм, заряди з обкладок почнуть зменшуватись і конденсатор розряджається. і=-dq/dt=-c*(dUc/dt)

знак мінус характеризує зменшення зарядів на обкладках конденсатора

За II законом Кірхгофа : Uс= i*r→Uc=-c*r*(dUc/dt) →Uc= -τ (dUc/dt)

Розділивши змінні, визначимо dt/τ = -dUс/Uс

Інтегруємо: t/ τ = -ln Uc+ln k

Визначимо ln k з початкових умов при t=0→Uc=U, звідки 0/τ = -lnU=ln k→k =U, звідки t/ τ= -lnUc+lnU; t/ τ =ln(U/U₀); - t/ τ=ln(Uc/U)→ln e^-t/τ =ln(Uc/U)→e^-t/τ = Uc/U→Uc=U*e^-t/τ (***)

- 157-

Напруга на конденсаторі при його розряджанні змінюється за законом експоненти.

Перехідний процес підтримується енергією, накопиченою у електричному полі конден­сатора. Кількість енергії безперервно скоро­чується і зменшується напруга на конденсаторі.

Розрядний струм у колі за законом Ома:

і=-Uс/r, і=-Uе^-t/τ /r=-Ie^-t/τ

Графіки і(t) при розряджанні і заряджанні аналогічні. Якщо конденсатор не підключати до резистивного елемента, то протягом часу він розрядиться за рахунок провідності діелектрика. Розряджання конденсатора через діелектрик називають саморозрядженням. Практично саморозрядження можливо вважати закінченим через t=4τ.

Визначимо сталу часу саморозрядження плоского конденсатора:

c= (εа*s)/l, r = p*(l/s) → τ = c*r =[( εа*s)/l]*[р*(l/s)] = εа *р

Стала часу τ = εа *р залежить від форми конденсатора.