3. Підключення котушки.

Кожна реальна котушка індуктивності характеризується двома параметрами - активним опором r та індуктивністю L.

Якщо приєднати таку котушку до джерела постійної напруги, то згідно І закону комутації струм у колі не може змінюватись стрибком. Зміна струму під час перехідного процесу приведе до виникнення е.р.с. самоіндукції еL = -L(di/dt)

За П законом Кірхгофа:

U+ е_L= іr → U-L*(di/dt) = іr

Поділимо на r: U/r-(L/r)* (di/dt)=i (****)

Після закінчення перехідного процесу е.р.с. самоіндукції буде відсутнього , оскільки котушка підключена до джерела постійної напруги. Тоді постійної напруги. Тоді сталий струм I= U/r. Відношення L/r має розмірність часу

[L] / [r]= (Ом*с) /Ом = с

тобто L/r = τ, тоді вираз (****) можливо записати у вигляді I- τ*(di/dt) =I або dt/τ=di/(І-і) (*****)

Проінтегруємо: ∫ (dt/τ) = - d(І-і)/(І-і), t/τ= -ln (I-і) -ln к

При t=0 → і=0 → 0/ τ = -ln (I-0) +ln к, к =І

Таким чином: t/τ - ln(І-i) +ln І, t/τ = ln[ І / (1-і) ]

Звільнюючись від логарифмів e^-t/τ = I/(I-і)

I=I*(l-e^-t/τ ) (******)

При t=0 і₀=0; t₁ = τ, і= (2/3)*І; t₂ =2 τ, i₂=(5/6)*I;

tз =3 τ, i₃= (11/к)*I, t₄=4 τ, і₄.=(23/24)*I

-158-

Чим менша індуктивність котушки. тим мен­ший час перехідного процесу. Побудуємо графік е_L(t).

Якщо і = I*(I-е^-t/τ ), а е_L=-L(di/dt)

е_L = -L*{d| I-е^-t/τ |/dt}=-(L/τ)*I* е^-t/τ

але τ=L/r → r=L/τ, U=I*r

звідки еL=-Uе-t/τ (*******)

Знак мінус значить, що е.р.с. самоіндукції спрямована назустріч прикладеній напрузі.

Аналізуючи вирази для струму і е.р.с. самоіндукції, бачимо, що:

1). Функція і(t) при перехідному процесі залежить від прикладеної напруги, оскільки I = U/ r, і від параметрів котушки r та L. Прикладена напруга визначає сталу величину струму; а L та r визначають характер кривої і(t);

2). Можливо виділити примусову та вільну складові струму іпр = 1;

i_вільн= -Ie^-t/τ ; i=i_пр+i_вільн

3). е.р.с. самоіндукції має тільки вільну складову е_L = -U*е^-t/τ

Відключення котушки.

Нехай котушка відключена від джерела постійної напруги і замкнена на саму себе (ключ К у положенні 2), звідки:

U_L=0→Ldi/dt=ir→ -di/dt=(dt/L)*r→-di/i=dt/τ

-di/i=dt/τ —диференціальне рівняння кола котушки, замкненої саму на себе

Внаслідок наявності магнітного поля індуктивної котушки струм у момент розмикання кола зникає ні миттєво, оскільки е.р.с. самоіндукції, обумовлена зменшенням магнітного потока, прагне підтримати струм.

У першу мить розрива кола напруга між контактами апарата різко збільшується до величини U+е_L., виникає іскровий розряд. Це порушує чистоту контактів, а іноді руйнує їх. Для ліквідації розряду вимикаючі апарати обладнують шунтуючими резисторами.

Розглянемо зміну струму у такому колі:

Згідно з П законом Кірхгофа при розімкненому перемикачі запишемо у вигляді:

0 –Ldi/dt=i*(rk+rp)

rk+rp = r, де rk - опір катушки, rp – розрядний опір

-159-

-L(di/dt)=ir, i=(-L/r)(di/dt)=-τ (di/dt)

Розділивши змінні, отримаємо: dt/τ = -di/і

Проінтегруємо: ∫ (dt/τ) = -∫(di/і) → t /τ = -ln і+ln k

При t=0 i=-I→ 0 / τ= - ln I + ln k k=I

Звідси t /τ =- ln I + ln k =ln(І/і)

ln е^t/τ = ln (I/i) →е = I /і→ і= I е^-t/τ

Струм у контурі розрядного опору при підключенні до нього індуктивної котушки змінюється за експонентою. Процес, який відбувається у короткозамкненому RL- колі, є вільним.

Якщо приєднати індуктивну котушку до джерела синусоїдної напруги, то перехідний процес, який складається з примусового і вільного режимів, тобто

і=і_пр+і_вільн.

Припустимо, що у момент підключення (t=0) напруга джерела u= Um*sin(ωt+φ),

тоді примусова складова струму і_пр = Im*sin(ωt+ψ-φ), оскільки струм відстає на кут φ від напруги.

Значення Іm та tg φ можливо визначити за відомими формулами Іm =Um /z, tg φ=x/r=

= ωL/r.

Вільна складова струму змінюється за експонентою і у загальному вигляді може бути записана як:

і _вільн = k*e^-t/τ

Струм у перехідному процесі: i=i_пр+i_вільн = Im*sin(ωt+ψ-φ)+k*e^-t/τ ( ^{^} )

Визначимо сталу інтегрування k з початкових умов: оскільки за І законом комутації струм у колі у момент включення не може змінюватись стрибком і коло до комутації відключене від джерела , можливо вважати, що у початковий момент струм у колі дорівнює нулю, тобто;

i₀ = 0 = iпр.₀ +iвіл.₀ → iпр.0 = iвiл.₀, або

iвіл.₀ =- Іm* sin(ψ-φ)* e^-0/τ →k=- Іm*sin(ψ-φ)

Підставивши у рівняння ( ^{^} ) значення k, отримаємо:

i= Im*sin(ωt+ψ-φ) - Іm*sin(ψ-φ)*e^-t/τ

Таким чином, у початковий момент часу вільна складова має найбільше значення і дорівнює за величиною, але протилежна за знаком миттєвому значенню примусової складової. Вільна складова струму зменшується і через час t=(4-5) τ практично досягає нульового значення.

Рівність вільної і примусової складових струму у початковий момент часу дає підставу стверджувати, що якщо примусова складова у момент включення дорівнює нулю, то і вільної складової струму не повинно бути і у колі відразу настає примусовий режим.

-160-

івіл.₀= -Im*sin( ψ-φ) = ₀→sin(ψ-φ) = 0→ ψ-φ=0, тобто ψ= φ, або φ = ψ -π

Вільна складова струму відсутня при зсуві фаз, який дорівнює початковій фазі напруги (ψ=φ) або початковій фазі напруги , яка зсунута на півперіода (φ = ψ -π). Нехай включення кола відбулося з початковою фазою напруги ψ =φ +90°

iвіл₀=- Im*sin( ψ-φ)= - Im*sin(φ+90°- ψ)= - Im

Вільна складова стругу у момент включення дорівнює абсолютному значенню амплітуди сталого струму, при малому затуханні струм може досягати майже подвоєній амплітуді сталого струму.

Розглянемо характер зміни струму та вплив початкової фази напруги на перехідний процес у колі при короткому замиканні.

Припустимо, що в кінці лінії, де підключене навантаження, виникло однофазне коротке замикання. При цьому синусоїдна напруга джерела не змінюється за амплітудою.

Визначимо параметри кола до короткого замикання.

Напруга, прикладена до лінії: U = Um*sin( ωt+ψ).

Опір кола z₁=zл+zн , де zл=rл+jXл, zн= rн+jХн

Струм у колі I₁=U/z₁

Для цього кола tgφ =(хл+хн) /(rл + rн)

Тоді рівняння для струму можливо записати у вигляді:

i₁ = Іm*sin(ωt+ψ-φ1)

Визначимо параметри примусового режиму після короткого замикання.

Рівняння для напруги згідно прийнятим умовам не змінюється:

u = Um*sin(ωt+ψ). Опір кола zн = zл,

Струм у колі iк= U /z , tg φk- xл / rл

Рівняння сталого струму має вигляд : ік пр = Іm к*sin(ωt+ψ-φk)

Розглянемо режим перехідного процесу. Струм складається з примусової та вільної складових ік= іпр+ів.

Вільна складова струму змінюється за експонентою ів = -k*е^-t/τ . У початковий момент часу (t=0) згідно першому закону комутації струм короткою замикання дорівнює струму до короткою замикання,

тобто ік 0 = і10 , де ік ₀ = іпр.0 -ів.0

ік₀ = іпр.0+ів0 = Іm к*sin(ω₀+ψ-φk)+(-k*e^-0/τ )=Im₁*sin(ψ-φ1), звідкіля

k = Im k*sin(ψ-φk)- Im1*sin(ψ-φ1).

Тоді вільна складова струму ів= -[ Im k*sin(ψ-φk)- Im1*sin(ψ-φ1)]*е^-t/τ.

Рівняння для струму можливо записати у вигляді:

iк = Іm k*sin(ωt+ψ-φk)+ [ -Im k*sin(ψ-φk)- Im1*sin(ψ-φ1)]*е^-t/τ

Початкові значення вільної складової струму залежить від початкової фази напруги; тобто момента виникнення короткого замикання. Струм короткого замикання залежить від характера елементів у колі контура замикання. При розрахунках повітряних ліній ураховують тільки індуктивний опір. Зсув фаз між напругою і струмом складає 90°. Тому

-161-

вільна складова струму у момент часу, коли напруга проходить через нульове значення, досягає амплітудного значення. Звідки витікає, що найбільш небезпечним для кола є коротке замикання, яке відбувається у момент, коли миттєве значення напруги на затискачах кола дорівнює путо.

Найбільше значення струму короткого замикання приблизьмо дорівнює подвійній амплітуді примусового струму, його називають ударнім струмом іуд. Ударний струм помітно виявляється па протязі 0,2 сек..

-162-

Лекція 31

Електричні кола з несинусоїдними напругами та струмами.

1. Аналітичний виріз несинусоїдної функції у вигляді тригонометричного ряду.

2. Симетричні періодичні несинусоїдні функції.

3. Діючі значення синусоїдного струму і напруги.

4. Потужність кола при несинусоїдному струмі. -

5. Розрахунок лінійного електричного кола при несинусоїдній напрузі на вході. Домашнє завдання [1] сторінка 281-404.

1. Причиною появлення несинусоїдальних напруг і струмів є як генератори так і приймачі електричної енергії. В генераторах - скривленням форми е.р.с. є несинусоїдне розподілення магнітної індукції у повітряному зазорі через наявність у якорі зубців та западин, а також реакції якіра. У приймачах несинусоїдність струму або напруги обумовлюється нелінійною залежністю між магнітним потоком і намагнічуючим струмом.

Несинусоїдні струми з'являються у тих випадках, коли приймач енергії має нелінійну ВАХ. Щоб привести таке коло до кола з синусоїдними величинами використовують теорему Фур’є, згідно якої будь-яка періодично змінюєма функція може бути розкладена в ряд, перший член якої є величина постійна, яка не залежить від часу, а решта є синусоїдними функціями з кратними частотами

f(х) = А₀ + А₁sin(х + Ψ₁) + А₂sin(2х + Ψ₂) + А3sin(3х + Ψ₃ ) +...(*),

де f(х) періодично змінюєма несинусоїдна функція;

А₀ - стала складова;

А₁, А₂, А₃ - амплітуди синусоїдне змінюємих функцій;

Ψ₁, Ψ₂, Ψ₃ - початкові фази синусоїдних функцій.

Синусоїдні члени ряду мають назву синусоїдних складових або гармонік.

Першу гармошку, частота якої дорівнює частоті даної несинусоїдної функції, має назву першої або основної; решта гармонік, частота яких у два, три і більше разів більша частоти основної гармоніки, називають вищими.

Кожна з вищих гармонік має назву, відповідну кратності її частоти (друга, третя і т.п.).

Вираз (*) може бути переписаний у вигляді:

f(х) = А₀ + А₁sin(ωt+ Ψ₁) + А₂sinА (2ωt+ Ψ₂) + А₃sin(3ωt+ Ψ₃) +...

Для будь-якої k-ї гармошки, використавши формулу синуса суми двох кутів, можна записати

Аk sin(k ωt+φk)= Аk sin kωt*cosψk+ Аkcos kωt*sin ψk

де k - будь-яке ціле число.

Якщо Аkсоs ψk=Ak’; Аksin ψk=Ak”, то

Аksіn(kωt+φk)= Ak’sin kωt+cos ψk + Ak”cos kωt , тобто будь яку гармоніку, яка має

початкову фазу, можливо подати у вигляді суми синусоїдної та косинусоїдної складових без початкових фаз. Тоді у загальному вигляді:

f(ωt) = А₀ = A₁’sin ωt + A₂’sin 2ωt +A₃’sin 3ωt+…+ A₁”cosωt + A₂”cos2ωt+ A₃”cos3ωt+…(**)

- 16З-

2. У електричних машинах напруга, струм, е.р.с. є функціями періодичними несинусоїдними, але симетричними. Такі функції мають певні властивості:

1. Функція, симетрична відносно вісі абсцис.

f(x)=-f(x+π)

Значення функції повторюються зі зворотнім знаком через півперіода. При розкладенні даної функції у ряд Фур’є отриманий вираз не буде мати постійної складової та вищих гармонік парного порядку. Доведемо це:

f(x)=-f(x+π)→ f(x)+f(x+π)=0

Розкладемо в ряд функції f(x) та f(x+π), використавши вираз (*)

f(x)=А₀+A₁sin(x+Ψ₁)+ A₂sin(2x+Ψ₂)+ A₃sin(3x+Ψ₃)+…

f(x+π)= А₀+ A₁sin(x+π+Ψ₁)+ A₂sin(2x+ π+Ψ₂)+ A₃sin(3x+ π+Ψ₃)+…=A₀-A₁sin(x+π+Ψ₁)+ +A₂sin(2x+ π+Ψ₂₎- A₃sin(3x+ π+Ψ₃)+…

f(x)+f(x+π)= 2A₀+2 A₂sin(2x+Ψ2)+2A₄sin(4x+Ψ₄)+…=0

Цей вираз вірний тільки в тому випадку, якщо кожна складова дорівнює нулю.

Таким чином, розкладання в ряд функції, симетричної відносно вісі абсцис, має вигляд: f(ωt)=A₁ sin(ωt+ Ψ₁)+ A₃ sin(3ωt+ Ψ₃)+ A₅ sin(5ωt+ Ψ₅)+…