§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Над матрицами можно производить следующие операции: умножение на число, сложение, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Первые две операции называются линейными.

Определение. Произведением матрицы A размера mn на число , называется матрица B=A размера mn, каждый элемент b_ij которой равен a_ij.

Пример 1.

Определение. Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица C=A+B того же размера каждый элемент c_ij которой равен a_ij+b_ij.

Пример 2.

Матрицы разного размера складывать нельзя.

Эти операции обладают свойствами:

а) коммутативности: A+B=B+A,

б) ассоциативности: (A+B)+C=A+(B+C)

в) дистрибутивности: (A+B)=A+B.

Операцию умножения матриц определим в два этапа.

Определение. Произведением строки A из n элементов на столбец B из n элементов называется число AB, равное сумме произведений соответствующих элементов строки и столбца, т.е.

Строку и столбец разной длины перемножать нельзя.

Пример 3.

Определение. Произведением матрицы A размера mn на матрицу B размера nk называется матрица C размера mk, каждый элемент c_ij которой равен произведению i –ой строки матрицы A на j–ый столбец матрицы B, т.е.

Пример 4. Пусть ,. Найдём матрицыAB и BA.

Мы видим, что ABBA, т.е. умножение матриц свойством коммутативности не обладает.

Единичная матрица E играет роль единицы при умножении на квадратную матрицу, т.е. для любой квадратной матрицы A верно равенство

AE=EA=A.

Произведение матриц соответствующих размеров обладает свойствами:

а) ассоциативности: A (BC)=(AB) C;

б) дистрибутивности: A (B+C)=AB+AC и (B+C) A=BA+CA.

Кроме того для квадратных матриц AB=AB, т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A^-1, что выполняется равенство AA^-1=A^-1A=E.

Определение. Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной.

Пример 5. Матрица – вырождена,– невырождена.

Из соотношения AA^-1=E=1 следует, что у вырожденной матрицы не может быть обратной (0A^-11).

Определение. Присоединённой матрицей для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, т.е.

Пример 6. Пусть , тогда

A₁₁=(–1) ¹⁺¹4=4,

A₁₂=(–1) ¹⁺²3= –3,

A₂₁=(–1) ²⁺¹2= –2,

A₂₂=(–1) ²⁺²1=1,

Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле

(Здесь – присоединённая транспонированная матрица).

Пример 7. Найдём обратную матрицу для матрицы .

Поскольку , то обратная матрица существует. В предыдущем примере мы получили, что, поэтому

и .

Сделаем проверку.

т.е. AA^-1= A^-1A=E.

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

Если A и B невырожденные матрицы, то (A^-1)^-1=A, (AB)^-1= B^-1 A^-1, A^-1=A^-1.