Дәріс № 7-9 Тақырып № 3 Аналитикалық геометрия.

3.1 Жазықтықтағы түзу

Енді біз жазықтығындағы түзулердің әртүрлі теңдеулерін қарастырып, оларды түрлі есептер шығаруға қолданамыз.

1. Бұрыштық коэффициенті бойынша берілген түзу теңдеуі

у

М(х,у)

у-b

х

О х

Сурет 3.1

Айталық түзу Оу өсін нүктесінде қиып Ох өсінің оң бағыттымен бұрышын жасайтын болсын. Онда

; ;

мұнда белгілеуін енгізіп

теңдеуін аламыз, мұнда - саны түзудің бұрыштық коэффициенті деп аталады.

Мысал 1. теңдеуін келесі түрде жазалық

.

Онда бұл бұрыштық коэффициенті болатын түзу теңдеуі және Oy өсін координатасы болатын нүктеде қиып өтеді. Бұл түзудің графигін салу үшін оның екінші нүктесін анықтаса жеткілікті. Егер болса, онда . Координаталық өстермен қиылысу нүктелері арқылы түзудің графигін салу қиын емес (Сурет. 3.2).

Егер түзудің бұрыштық коэффициенті және ол нүктесі арқылы өтсе, онда онда осы түзудің кез келген М(х,у) нүктесі үшін келесі қатынас орындалады:

, , себебі .

Онда бұрыштық коэффициенті k болатын және берілген М_о(х_о;у_о) нүктесі арқылы өтетін түзу теңдеуі былай жазылады:

Бұрыштық коэффициенттер көмегімен түзулер арасындағы бұрышты анықтауға болады. Мектеп курсында келесі теорема оқытылады:

Теорема. және түзулері арасындағ α бұрышы тангенсі келесі формулабойынша анықталады:

Прямые және параллель болуы үшін теңдігінің, ал перпендикуляр боуы үшін теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Y

X

Сурет 3.2

Сурет 3.3.

Мысал 2. түзуі үшін || және болатындай, нүктесі арқылы өтетін және түзулері теңдеулерін жазалық.

және түзулерінің бұрыштық коэффициенттері бірдей, яғни . Сондықтан, оның теңдеуі былай жазылады:

, яғни .

түзуінің бұрыштық коэффициенті санына тең, яғни . Оның теңдеуі былай жазылады: , яғни .

Анықтама. түзуіндегі нөлдік емес векторы оның бағыттаушы векторы деп аталады. Бұл түзудің базистік векторы болады және оның координаталарын арқылы белгілейік.

Айталық – нүктесі түзуінің қайсыбір нүктесі болсын, ал – оның кез келген ағым нүктесі болсын (Сурет 3.4). векторының базисіндегі координатасын арқылы белгілейік, яғни . Онда қатынасынан

,

теңдігін аламыз, оны түзуінің векторлық теңдеуі деп атайды. Мұнда .

Y

M₀ M L

O X

Рис. 3.4

3. Бұл векторлық теңдеу координаталық түрде былай жазылады:

бұл теңдеу түзудің параметрлік теңдеуі деп аталады.

4. және векторлары коллинеар болғандықтан, то олардың және координаталары пропорционал болады, яғни

бұл теңдеу түзудің бағыттаушы векторымен берілген теңдеуі деп аталады.

Мысал 3. нүктесі арқылы өтетін және векторына параллель түзу теңдеуін жазалық. Алдыңғы формулада М_о нұктесі мен векторы координаталарын қойып, мына теңдеуді аламыз:

;

5. Айталық түзуі және нүктелері арқылы өтсін. Онда координаталары болатын векторы осы түзудің бағыттаушы векторы болады. Онда түзудің бағыттаушы векторымен берілген теңдеуі бойынша келесі теңдеуді аламыз:

Бұл екі нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуі.

Мысал 4. және нүктелері арқылы өтетін түзу теңдеуін жазу керек. Алдыңғы формула бойынша мына теңдеуді аламыз:

6. Бағыттаушы векторы бойынша берілген теңдеуді түрлендіріп, мына теңдеуді аламыз:

–ді А арқылы, –ді В арқылы, өрнегін С арқылы белгілеп, келесі теңдеуді аламыз:

.

бұл түзудің түзудің жалпы теңдеуі деп аталады. Келесі теорема осы атауды негіздейді.

Теорема. Любая прямая на плоскости жазықтығындағы кез келген түзуі өзінің жалпы теңдеуімен анықталады және керісінше болғандағы кез келген теңдеуі жазықтықта түзуді анықтайды.

Дәлелдеуі. Түзу теңдеуін оның жалпы теңдеуі түріне келтіруге болатынын алдында ғана көрсеттік. Енді теореманың екінші шартын көрсетелік. Айталық, келесі теңдеу берілсін:

.

Егер болса, онда , яғни түзудің бұрыштық коэффициентпен берілген теңдеуін аламыз.

Егер болса, онда , яғни мына теңдеуді аламыз:

.

Бұл өсін нүктесінде қиып өтетін және оған перпендикуляр түзу теңдеуі.

Жазықтықтағы барлық түзулер мен барлық мүмкін болатын жалпы (сызықты) теңдеулер арасында өзара бірмәнді сәйкестік бар деп ойлауға болмайды. Мәселен, және теңдеулері бір түзуді анықтайды.

Анықтама. түзуіне перпендикуляр болатын векторын оның нормаль векторы деп атайды.