- •Оглавление
- •Введение
- •1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- •1.1. Предел и непрерывность функций многих переменных
- •1.1.1. Понятие функции многих переменных
- •1.1.2. Геометрическая иллюстрация функции двух переменных
- •1.1.3. Предел функции двух переменных в точке
- •1.1.4. Непрерывность функции двух переменных
- •1.2. Дифференцируемость функции многих переменных
- •1.2.1. Частные производные
- •1.2.2. Дифференцируемые функции
- •1.2.3. Полный дифференциал функции многих переменных
- •1.2.5. Производные высших порядков
- •1.3. Экстремум функции многих переменных
- •1.3.1. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума
- •1.4. Метод наименьших квадратов
- •1.4.1. Понятие эмпирической формулы
- •1.4.2. Выравнивание экспериментальных данных по прямой
- •1.4.3. Выравнивание экспериментальных данных по параболе
- •1.4.4. Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе
- •2. Интегральное исчисление
- •2.1. Неопределенный интеграл
- •2.1.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •2.1.4. Непосредственное интегрирование. Поднесение под знак дифференциала
- •2.2. Основные методы интегрирования
- •2.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •2.2.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •2.2.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •2.2.4. Интегрирование по частям
- •2.2.5. Интегрирование рациональных функций
- •2.3. Определенный интеграл
- •2.3.1. Определение определенного интеграла
- •2.3.2. Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций
- •2.3.3.Свойства определенного интеграла
- •2.3.5. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.3.7. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.4. Несобственные интегралы
- •2.4.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •3.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка и его решения
- •3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.2.1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения
- •3.2.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •3.3.1. Постановка задачи Коши и понятие общего решения для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •3.3.2. Свойства решений линейных однородных уравнений
- •3.3.3. Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •4. Ряды
- •4.1. Числовые ряды
- •4.1.1. Понятие числового ряда и его сходимости
- •4.1.2. Простейшие свойства сходящихся рядов
- •4.1.3. Необходимый признак сходимости ряда и его следствие
- •4.1.4. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
- •4.1.5. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •4.1.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •4.2. Степенные ряды
- •4.2.1. Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •4.2.2. Степенные ряды. Теорема Абеля
- •4.2.3. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда
- •4.2.4. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды
- •Вопросы для повторения и тренировочные задания
- •1. Функции многих переменных
- •2а. Неопределенный интеграл
- •2б. Определенный интеграл
- •3: Дифференциальные уравнения
- •4. Ряды
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
Теорема 1.1 (арифметические операции над пределами). Если
функции |
f (M ) и |
g(M ) имеют |
пределы в точке M0 : |
|||||||||
lim f (M ) = A, lim |
g(M ) = B, |
то и |
функции |
f (M ) ± g(M ), |
||||||||
M →M0 |
|
M →M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (M ) g(M ), |
f (M ) |
|
имеют пределы в точке M0 , причем |
|||||||||
g(M ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
f (M ) ± g(M ) = A ± B ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
M →M |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
( f (M ) g(M )) = A B ; |
lim |
|
f (M ) |
= |
A |
, |
B ≠ 0 . |
||||
|
|
|
||||||||||
M →M0 |
|
|
|
|
M →M0 |
g(M ) |
B |
|
||||
Теорема 1.2 (ограниченность функций, имеющих предел). Если функция z = f (M ) имеет в точке M0 конечный предел, то су-
ществует окрестность точки M0 , в которой функция ограничена. Теорема 1.3. Если функция z = f (M ) имеет в точке M0 пре-
дел lim |
f (M ) = A и |
A > 0 (A < 0) , то существует окрестность |
M →M0 |
|
|
точки M0 |
такая, что для всех точек M (x, y) этой окрестности вы- |
|
полняется неравенство |
f (M ) > 0 ( f (M ) < 0) . |
|
1.1.4. Непрерывность функции двух переменных
Определение 1.7. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M0 (x0, y0 ) , если она определена в самой точке M0 и неко-
торой |
ее |
окрестности |
и |
выполняется |
равенство |
lim |
f (M ) = f (M0 ), т.е. предел функции в точке равен значению |
||||
M →M0 |
|
|
|
|
|
функции в этой точке.
Справедливы следующие теоремы:
Теорема 1.4. Сумма, разность и произведение непрерывных функций в точке M0 есть непрерывная функция в точке M0 ;
частное непрерывных функций есть непрерывная функция, при условии, что знаменатель в точке M0 не обращается в нуль.
12