- •Министерство образования республики беларусь
- •Вероятность. Основные теоремы теории вероятностей
- •1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями
- •Свойства операций над событиями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей
- •Основные комбинаторные формулы
- •Классическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Геометрические вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Свойства условных вероятностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Повторные независимые испытания (схема Бернулли)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •Теоремы Муавра-Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
Министерство образования республики беларусь
УО «Белорусский государственный экономический университет»
Л.С. Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Практикум
Издание третье, переработанное и дополненное
Минск 2011
СОДЕРЖАНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …………...………………..... |
3 |
1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями ……………….…...... |
3 |
2. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей .............................................. |
11 |
3. Геометрические вероятности …………....……..... |
23 |
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей |
28 |
5. Формула полной вероятности и формула Байеса |
39 |
6. Повторные независимые испытания (схема Бернулли) …….............................................………….. |
45 |
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ….......……………….... |
57 |
7. Дискретная случайная величина ………......…... |
57 |
8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности ……...............................................…... |
79 |
9. Закон больших чисел …………......…………….... |
126 |
10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов ……............................................... |
133 |
ПРИЛОЖЕНИЯ …………………………………….... |
147 |
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………... |
150 |
Вероятность. Основные теоремы теории вероятностей
1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями
В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно.
Примеры случайного эксперимента: бросание монеты, игральной кости, проведение лотереи, азартные игры, стрельба по цели, поступление звонков на телефонную станцию и т.п.
Различные результаты эксперимента называют исходами.
Определение 1. Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называетсяпространством элементарных событий. Взаимоисключающие исходы — это те, которые не могут наступить одновременно.
Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а его исходы — буквой ω.
Определение 2. Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, а также из счетного или несчетного числа элементарных событий.
Событие Ω, состоящее из всех исходов эксперимента, называется достоверным событием. Оно обязательно происходит, так как эксперимент всегда заканчивается каким-нибудь исходом.
Пустое множество исходов эксперимента называется невозможным событием и обозначается символом ø.
Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В. Другими словами, под понимают следующее событие: произошло или событие А, или событие В, либо они произошли одновременно, т.е. произошло хотя бы одно из событий А или В (рис. 1.1а).
Определение 4. Произведением двух событий А и В (обозначается АВ) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В. Иными словами, АВ означает событие, при котором события А и В наступают одновременно (рис. 1.1б).
Определение 5. Разностью двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.
Смысл события состоит в том, что событие А наступает, но при этом не наступает событие В (рис. 1.1в).
Определение 6. Противоположным (дополнительным) для события А (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в А. Наступление события означает просто, что событие А не наступило.
Если события изобразить на плоскости, то результат определенных операций над событиями выглядит следующим образом:
Рис. 1.1
Определение 7. События А и В называются несовместимыми, если нет исходов, входящих как в А, так и в В, т.е. АВ = ø.
Определение 8. Говорят, что событие А содержится в событии В (обозначается ), если все исходы события А входят в событие В.