TOE_NAU_ChASTINA_I_Siry_D_T

71

Зсув фаз

U p

X

X

L

- X

C

.

j = arс tg

= arс tg

= arс tg

Ua

R

R

u=

то

2 U sin(ωt+ φ).

Якщо

усі

сторони

трикутника напруг розділити на Іструм, то

отримаємо йому подібний трикутник опорів (рис. 3.15).

А'

Тут:

Ua

О'В' → R =

= Z cosj = Z 2 - X 2 =

Z

X

I

φ

2

æ

1

ö2

0'

I

=

Z

- çwL -

÷

– активний

R

В'

è

wC ø

Рис. 3.15

опір,

А'В' → Х =

U р

– реактивний опір,

= Z sin j =

Z 2 - R2

I

О'А' → Z =

U

æ

1

ö

2

– повний опір кола,

R 2

+ X 2

R 2 +

=

=

çw L -

÷

I

ç

w C

÷

è

ø

w L -

1

j = arс tg

X

= arс tg

w C

– зсув фаз.

R

R

Якщо усі сторони трикутника напруг помножити на струмІ, то

отримаємо йому подібний трикутник потужностей (рис. 3.16).

А"

Тут:

S

G

О"В"→Р=Ua I = R I 2 = S cosj =UI cosj [ват]

– активна потужність,

φ

А"В"→G=U р I = RХ 2

= S sinj =UIsinj [ваp]

0"

P

В"

I

– реактивна потужність,

О"А"→ S=

[BA] –

Рис. 3.16

U I = Z I 2 =

P 2 + Q 2

повна потужність,

IR= U /R= GU; Iс= ωCU=Вс U; IL= U / ωL= ВL U,

де

ВL=1/ ωL=1/ XL [См] – індуктивна провідність;

Так

Вс= ωC=1/ XС [См] – ємнісна провідність.

як кожен доданок рівняння(3.2) змінюється за синусоїдним

Для визначення I та ψi зобразимо синусоїдні

струми

векторами

для

діючих значень і перейдемо до векторного рівняння:

r

r r

r

(3.3)

I

= I R + I L + IC .

В відповідності з рівнянням (3.3) побудуємо векторну діаграму струмів

(рис. 3.16). За

базисний

вектор, відносно якого

будемо

будувати

інші

елементів кола. Нехай I L > IC .

На

векторній

діаграмі

струмів OAB∆

Ic

називається трикутником струмів.

OB→Ia=IR=UG=Icosφ=

– активна

О

IR=Ia

В

I 2 - I p2

φ

U

складова струму;

I

Ip=IL -Ic

AB→Ip=IL-IC=U(1/ωL–ωC)=U(BL–BC )=UB=

=І sin φ=

А

I 2 - I а2 – реактивна складова

Ic

струму,

IL

IL

де BL - BC

= B [См] – реактивна

Рис. 3.16

провідність кола.

OA→ I = I a2 + I p2 = U 2 G 2 +U 2 B2 =

=U

= UY – закон Ома для

G 2 + (BL - BC )2 = U G 2

+ (1/ wL -wC)2

паралельного з’єднання R,L,C.

Тут:

Y=

= 1/ Z – повна провідність кола.

G 2 + B2 = G 2 + (1/ wL -wC)2

Зсув фаз:

φ = arctg(Ip /Ia )=arctg((BL-BC )/G).

Можливі випадки:

1. BL >BC,

тобто B > 0,

φ>0 – коло носить індуктивний характер.

2. BL <BC,

тобто B < 0,

φ<0 – коло носить ємнісний характер.

3. BL=BC, φ = 0 – коло носить активний характер (резонанс струмів).

Тепер, знаючи І та φ, знаходимо Im і φ:

Im= І

,

ψi=ψu - φ= - φ.

2

Отже, струм на вході кола дорівнює

і=І

sin(ωt- φ).

2

φ=arctg(B/G)=arctg((1/ωL – ωC)/G) – зсув фаз.

Якщо

всі

сторони трикутника

струмів помножити

на

напругу, то

P

отримаємо йому подібний трикутник потужностей

О''

В''

(рис. 3.18).

φ>0

P=Ia U=GU2=UI cos φ=S cos φ=

[Bт] –

S

Q

S 2

- Q 2

А''

активна потужність;

Рис. 3.18

Q=IpU=BU2=UI sin φ=S sin φ=

S 2 - Р 2

[Bap] –

реактивна потужність;

S=UI=YU2=

[BA] – повна потужність;

Р 2 + Q 2

Розглянемо енергетичні процеси

в колі

з

послідовним

з’єднанням

R

R, L, C. (рис. 3.19).

i

За ІІ законом Кірхгофа

uR

u = uR+ uL+ uc.

u

Помножимо всі члени цього рівняння

uL

L

на струм і

uC

u і= uR і+ uL і+ uc

і.

Враховуючи,

що

p=ui; pR = uR і = Ri2;

C

uL=L di/dt; ic=C duc /dt,

Рис. 3.19

отримаємо:

p=Ri2+Li di/dt+ uc C duc /dt=Ri2+d(Li2/2)/dt+ d(C uc2/2)/dt=

=Ri2+dwL /dt+dwC /dt=pR+ pL+pC,

де:

pR=Ri2 – миттєва потужність активного опору, котра характеризує

процес перетворення електромагнітної енергії в тепло;

pL= dwL /dt – миттєва

потужність

індуктивної

котушки. При pL > 0

енергія джерела іде на утворення магнітного поля котушки, при pL

< 0 –

енергія магнітного поля котушки повертається джерелу;

pC= dwC /dt – миттєва

потужність

конденсатора. При pC > 0 енергія

3.13. Еквівалентні параметри лінійного пасивного двополюсника

Розглянемо лінійний пасивний двополюсник (рис. 3.21).

Дано:

u=U

2 sin(ωt+ψu);

I

А

φ/w

i=I

2 sin(2ωt+ψi).

Визначимо

потужності,

які

П

U

V

споживає двополюсник:

S=UI=ZI2=YU2,

P=UIcosφ=RI2=GU2,

Q=UIsinφ=XI2=BU2.

Рис. 3.21

Із цих рівнянь можна отримати:

Z= U/I;

R=Zcosφ; X=Zsinφ;

Y=I/U;

G=Ycosφ;

B=Zsinφ;

послідовним

з’єднанням

опорівR i X

або

паралельним з’єднанням

провідностей G і B (рис. 3.22).

Схемою

заміщення

електричного

кола

називається , схемаяка

відображає властивості кола при деяких умовах.

Z=U/I;

R=P/I2; (чи R=Zcosφ);

X= +

Z 2 - R2

;

Y=I/U;

G=P/U2; (чи G=Ycosφ);

B= +

.

Y 2 - G2

I

R

I

U

X

U

G

В

I

II

I ®II

II ®I

G=RI2/U2=R/Z2=R/(R2+X2);

R=GU2/I2=G/Y2=G/(G2+B2);

B=XI2/U2=X/Z2=X/(R2+X2);

X=BU2/I2=B/Y2=B/(G2+B2);

Y=ZI2/U2=Z/Z2=1/Z.

Z=YU2/I2=Y/Y2=1/Y.

A = A + jA

= A(cosa + j sin a) = Ae ja ,

1

2

де

A=

A12 + A22

– модуль комплексного числа;

a = arctg A2

– аргумент комплексного числа;

A1

cosa + j sina =e ja

– Формула Ейлера.

j

01 – вісь дійсних чисел;

А2

А

0j – вісь уявних чисел.

Для

переходу

від

однієї

фор

комплексного

числа

до

α

використовуються такі формули:

0

1

± j = cos90° ± j sin 90° = e± j 90

°

,

А1

,

-1 = cos180o ± j sin180o = e± j180 °

Рис. 3.24

1 = cos 360°

± j sin 360°

= e± j360° .

При

додаванні

або відніманні краще використовувати алгебраїчну

форму запису, а при множенні та діленні – показникову форму.

Наприклад:

А = A1 + j A2 = Ae ja ;

B = B1 + jB2 = Be jb .

j

A+ B = ( A1 + B1) + j( A2 + B2);

A - B = ( A1 - B1) + j( A2 - B2);

-

-

-

-

А2

AB = Aeja Bejb = ABej(a+b) ;

- -

А

A

Ae ja

A

e

J (

a-b

)

.

-

=

=

α

B

Be

jb

B

-

0

1

Два

комплексних

числа

називаються

-α

А1

спряженими, якщо їх модулі рівні, а аргументи

А

рівні, але протилежні за знаком (рис. 3.25)

-А2

A = A1 + j A2

= A(cosa + j sin a) = Ae ja ;

-j

-

A* = A1 - j A2 = A(cosa - j sin a) = Ae- ja .

Рис. 3.25

-

78

Добуток комплексно-спряжених чисел дорівнює дійсному числу:

A-

× A* = A2 = A12 + A22 .

-

Таким чином, комплексне

число можна подати радіус-вектором і

j

Як

радіус-вектор

його

мож

записати в комплексній формі:

ω

Im

I m = I m e jy i .

вектор Іm

Im

Примусимо

обертатися

з

частотою ω.

Тоді

через

часt

він

займе

ωt

положення

α=ωt+ψі.

Вектор,

що

ψі

0

1

обертається,

в

комплексній

формі

записується у вигляді:

Рис. 3.26

І (t) =Іm ej(ωt+ψі)=Im ejψі ejωt= I m ejωt,

-

де І (t) – комплексний миттєвий струм,

-

I m

= I m e jy i .– комплексна амплітуда струму,

e jwt

– оператор обертання.

Запишемо комплексний миттєвий струм в тригонометричній формі:

І (t) =Im cos(ωt+ψі)+jIm sin(ωt+ψі).

-

до синусоїдної функції, необхідно

брати лише

уявну

частину. Можна

записати іншим чином:

i=Im sin(ωt+ψі)

=

I m ejωt= І (t) ,

-

де i – оригінал;

= –знак відповідності;

І (t) – зображення – це допоміжна величина,

що не

має фізичного

u= U- (t) =

U

m ejωt;

U

m =Um ejψu;

U =

U

m

= U ejψu;

2

e ×=× E- (t) = Em ejωt; E m = E m ejψе;

E =

E

m

= E ejψе.

-

2

Приклад:

i =10sin(ωt+30 ° ) A.

Визначимо I m , I .

1. Дано:

I m =Im ejψі=10 ej30 ° A.

I =

10

e j30°

A.

2

2. Дано:

I = 5e- j 60° A .

Визначимо I m , i.

i=Im sin(ωt+ψі)=5

sin(ωt-60 °

) A,

2

I m =Im ejψі=5

e–j60 ° A.

2

комплексними числами.

Цей метод

дозволяє заміняти

лінійні інтегро-диференційні

рівняння,

що описують синусоїдні кола, на алгебраїчні рівняння, а також застосовувати

для розрахунку

електричних кіл

синусоїдного струму основні

закони та

електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C (рис. 3.27).

R

Нехай:

u=Um sin(ωt+ψu ).

i

Визначимо: i=Im sin(ωt+ψi ),

uR

де

Im, ψi –?

За II законом Кірхгофа маємо:

u

uL

L

u=uR+uL+uc=iR+L

di

+

1

òidt.

(3.4)

dt

С

uC