TOE_NAU_ChASTINA_I_Siry_D_T

1.5. Лінійні електричні кола та геометрія електричного кола

Електричне коло називається лінійним, якщо всі елементи, які входять в нього (активні і пасивні), являються лінійними, тобто електричні опори,

лінійних електричних колах постійного струму описуються лінійними алгебраїчними рівняннями.

Лінійні кола являються ідеалізацією реальних кіл.

В реальних колах електричний опір елементів, звичайно, змінюється за

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

12

нелінійність ВАХ його елементів незначна і не впливає на точн результатів розрахунку.

Для полегшення розрахунку електричних кіл складається їх електрична

електричного кола, яке має умовне позначення його елементів і показує послідовність їх з’єднання.

При зображенні схеми електричного кола користуються умовними графічними позначеннями, які встановлені Держстандартами.

Основними елементами схем електричних кіл являються: гілка, вузол, контур, а також двополюсник та чотириполюсник.

Розглянемо ці поняття на прикладі конкретного електричного кола

(рис. 1.13).

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

14

Тема 2. Теорія та розрахунок електричних кіл постійного струму

2.1.Основні закони електричних кіл

2.1.1.Закон Ома для ділянки кола

Як відомо, закон Ома для простого кола має наступний вигляд:

Простим електричним колом називається одноконтурне коло, або коло, яке в результаті простих перетворень може бути зведене до одноконтурного.

Закон Ома може бути застосований не тільки до простого електричного кола, але й до окремої її ділянки.

Розглянемо ділянку кола (рис. 2.1):

Рис. 2.1

Вважаємо, що потенціали точок 1 і 5 відомі і дорівнюють відповідно Vа та Vб. Задамося напрямом струму І і визначимо потенціали решти точок.

Для вибраного напряму струму потенціалV2 < V1 на величину падіння напруги на R1 і дорівнює V2 = V1 – R1 І.

Потенціал V3 > V2 , так як на цій ділянці включене джерело ЕРС і напрям переходу від точки 2 до точки 3 співпадає з напрямом ЕРС, тому

V3 = V2 + E1.

Потенціал V4 < V3 і дорівнює V4 = V3 – R2 І.

Потенціал V5 < V4 і дорівнює V5 = V4 – E2, так як напрям переходу від точки 4 до точки 5 не співпадає з напрямом ЕРС.

Просумуємо окремо ліву і праву частини отриманих рівнянь:

V2 + V3 + V4 + V5 = V1 - R1 І + V2 + E1 + V3 - R2 І + V4 - E2.

Вирішимо останнє рівняння відносно струму І:

I = V1 -V5 + E1 - E2 – це є закон Ома для ділянки кола.

R1 + R2

В загальному випадку закон Ома для ділянки кола записується так:

I = Va -Vб + åEk .

åRk

де Vа – Vб = Uаб – різниця потенціалів між крайніми точкамиа і б при позитивному напрямку струму від точки а до точки б;

∑Ек – алгебраїчна сума ЕРС, діючих на ділянці електричного кола (ЕРС записується з позитивним знаком, якщо її напрям співпадає з вибраним напрямом струму, і навпаки);

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

15

∑ Rк – повний опір ділянки кола. Закон Ома для пасивної ділянки кола:

Частковим випадком є відома формула:

I = U . R

Якщо в результаті розрахунку струмІ вийшов з від’ємним знаком, то це означає, що дійсний напрямок струму протилежний вибраному.

2.1.2. Перший закон Кірхгофа

Дійсний для вузла електричного кола і читається так:

«Алгебраїчна сума струмів у вузлі електричного кола дорівнює нулю»

за першим законом Кірхгофа можна скласти (q - 1) незалежних рівнянь.

2.1.3. Другий закон Кірхгофа

Другий закон Кірхгофа дійсний для контуру електричного кола.

Для одержання другого закону Кірхгофа розглянемо зовнішній контур 1-2-3-4 електричного кола рис. 2.3.

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

16

Vа = V1 + Е1, V2 = Vа – R1 І1, V3 = V2 + R4 І4,

Vб = V3 – Е2, V4 = Vб + R2 І2, V1 = V4 + Е3.

Складемо окремо ліву і праву частини отриманих рівнянь:

Vа + V2 + V3 + Vб +V4 + V1 = V1 + Е1 + Vа – R1 І1 + V2 + R4 І4 +

+V3 – Е2 + Vб + R2 І2 + V4 + Е3.

Маємо: Е1 – Е2 + Е3 = R1 І1 – R4 І4 – R2 І2.

В загальному випадку:

åEk = åIk Rk = åU Rk – це є другий закон Кірхгофа.

–вибрати позитивні напрями струмів у гілках;

–довільно задатися напрямом обходу контуру;

–зі знаком "+" беремо ЕРС і спади напруг від тих струмів, напрямок яких співпадає з напрямом обходу контуру і навпаки.

Якщо в контурі є джерела струму з напругоюUJk на їх затискачах, то

ІІзакон Кірхгофа приймає такий вигляд:

åEk = åI k Rk + åU Jk ,

де р – число джерел струму.

Наприклад, рівняння за ІІ законом Кірхгофа для внутрішнього контуру електричного кола рис. 2.3 запишеться так:

E1 - E2 + E3 = I1 R1 +U J - I 2 R2 .

Якщо ж в контурі і всі ЕРС замінити напругами на їх затискачах, напрям яких протилежний напряму ЕРС, то рівняння за другим законом Кірхгофа приймає такий вигляд:

m

åUk = 0 ,

k =1

де m – число активних та пасивних елементів контура.

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

17

2.1.4. Закон Джоуля-Ленца

провідника і часу протікання ,струмутобто витраченій джерелом електричній енергії:

Q = W = I 2 RT [J , Дж]. .

В міжнародній системі одиниць СІ одиницею енергії і тепла є джоуль. Цей закон представляє собою частковий випадок закону збереження і

перетворення енергії.

Електрична енергія за одиницю часу називається потужністю:

P = W = I 2 R . T

Враховуючи, що IR = U, отримаємо:

P= IU [W , Вт].

2.2.Потенціальна діаграма

Потенціальною діаграмою називається графічне зображення розподілу потенціалів вздовж контуру в залежності від опорів елементів цього контуру.

Розглянемо замкнутий контур (рис. 2.4,а).

За відомими Ек; Rк; Ік визначимо потенціали точок Vк. Задамося напрямками струмів у гілках і напрямком обходу.

При побудові потенціальної діаграми будемо враховувати такі правила: 1. Якщо струм в резисторі співпадає з напрямком обходу, то потенціал

наступної точки зменшується, і навпаки.

Рис 2.4,б

Рис. 2.4,а

2. Якщо напрямок ЕРС співпадає з напрямком обходу контуру, то потенціал наступної точки збільшується, і навпаки.

3. Потенціал однієї із точок приймаємо рівним нулю.

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

18

Нехай V1=0, тоді:

V2 = V1 + E1 ® V3 = V2 - R1I1 ® V4 = V3 + R2 I2 ® V5 = V4 - E3 ®V1 = V5 + R3 I3 .

При побудові потенціальної діаграми(рис. 2.5,б) по осі абсцис відкладаються в масштабі опори ділянок(елементів) контуру в порядку їх слідування при обході контуру.

По осі ординат відкладаються значення потенціалів.

На потенціальній діаграмі тангенси кутів нахилу відрізків прямих ліній пропорційні величині струмів, які протікають у відповідних гілках:

Потенціальна діаграма дозволяє визначити різницю потенціалів між будь-якими точками контуру і струми в гілках.

2.3. Розрахунок складних електричних кіл методом еквівалентних перетворень

Цей метод заснований на еквівалентному перетворенні послідовних і паралельних з'єднань пасивних і активних елементів та перетворенні з'єднань зіркою і трикутником. В результаті цих перетворень складне електричне коло змінюється в просте одноконтурне, де визначають струм за законом Ома. Процес зміни конфігурації кола до одного контуру називається прямим ходом методу (рис. 2.5). В процесі перетворення бажано більше зберегти вузлів вихідного кола, які в одноконтурному колі є точками1, 2, 3 (рис. 2.5,в). Прийнявши потенціал одного із вузлів рівним ,нулюзнаходимо потенціали інших вузлів одноконтурного кола. За потенціалами вузлів та законом Ома для ділянки кола знаходимо на зворотному ході струми в гілках вихідної схеми.

Рис. 2.5

Усі перетворення повинні бути еквівалентними, для цього повинні виконуватись наступні умови еквівалентності перетворень:

– потужність, яку споживає коло до і після перетворень, повинна бути однаковою;

– струми і напруги на тих ділянках, котрікола не підлягали перетворенню, повинні залишитися незмінними.

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

19

Метод перетворення не вимагає складання систем алгебраїчних рівнянь і тому є більш наочним і в багатьох випадках дозволяє значно спростити розрахунок.

Схеми стандартних еквівалентних перетворень, що застосовуються найчастіше у практичних розрахунках як пасивних так і активнихідво триполюсників, і відповідні формули таких перетворень зведені до табл.2.1. Розглянемо деякі з них.

2.3.1. Послідовне з’єднання резисторів

Це таке з’єднання, при якому через всі елементи протікає один і той же струм.

Зобразимо електричну. схему послідовного з’єднанняn резисторів

(рис 2.6).

Рис. 2.6

За ІІ законом Кірхгофа для даної схеми маємо:

0 = -U + U1 +U 2 + ... + U n ,

U = U1 +U 2 + ... +U n = IR1 + IR2 + ... + IRn = IRe ,

n

де : R e = R1 + R2 + ... + Rn = åRi .

i =1

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.

2

Рис 2.7

провідність кола дорівнює сумі провідностей окремих гілок.

Розглянемо частковий випадок, коли два резистори з’єднані паралельно

(рис 2.8).

В цьому випадку:

"чужої гілки".

Струм в одній із двох паралельних гілок дорівнює струмові нерозгалуженій частині кола, помноженому на опір"чужої" гілки і поділеному на суму опорів обох гілок.

2.3.3. Змішане з’єднання резисторів

Змішаним з’єднанням резисторів називається поєднання послідовного і паралельного з’єднань (рис. 2.9):

- визначаємо напругу на паралельній ділянці: U23 = I1R23 ;

Сірий Д.Т. Теоретичні основи електротехніки. Курс лекцій. НАУ. 2008.