значення невiдомих компонент вектора v , якi б мiнiмiзували суму квадра-

31

задачi, та отримаємо розв’язок:

Нарештi, за формулами (2.21) отримаємо координати пунктiв 5 i 6 в референцнiй системi:

X5REF = X5 − x −εzY5 +εyZ5 = 3 893 236,176 м

Y5REF =Y5 − y −εxZ5 +εzX5 = 1 651 705,655 м

Z5REF = Z5 − z−εyX5 +εxY5 = 4 759 135,921 м

X6REF = X6 − x −εzY6 +εyZ6 = 3 893 383,079 м

Y6REF =Y6 − y −εxZ6 +εzX6 = 1 648 859,673 м

Z6REF = Z6 − z−εyX6 +εxY6 = 4 759 868,671 м

Зауваження: При розв’язаннi подiбної задачi в MATLAB перевизначену лiнiйну систему рiвнянь (2.24) краще розв’язувати не за формулами (2.25), а скористатись функцiєю linsolve або, що те ж саме, оператором \, призначеним якраз для розв’язання лiнiйної системи рiвнянь за методом найменших квадратiв. Таким чином, вектор невiдомих можна знайти як

v = linsolve(M, b);

або як

v = M \ b;

2.3.Перехiд мiж системами координат, зв’язаними з двома референц-елiпсоїдами

Розглянемо випадок, коли здiйснюється перехiд мiж двома системами геодезичних координат, зв’язаними з елiпсоїдами, якi вiдрiзняються один вiд одного екваторiальними радiусами та ексцентриситетами, причому один з елiпсоїдiв шляхом паралельного переносу дещо змiщений вiдносно iншого. Саме така задача виникає при переходi мiж системами геодезичних координат, пов’язаними iз загальноземними та референц-елiпсоїдами. В п.1.4 зазначалося, що референц-елiпсоїд вiдрiзняється вiд загальноземного елiпсоїда екваторiальним радiусом та стисненням, його центр змiщений вiдносно центру мас Землi, але екваторiальна площина паралельна до екваторiальної площини Землi.

Уявимо, що екваторiальний радiус a та квадрат ексцентриситету e2 елiпсоїда змiнились на величини da та d(e2) вiдповiдно. При цьому геодези-

32

чнi координати B, L, H довiльної точки простору змiняться, але її декартовi координати X,Y , Z залишаться незмiнними, оскiльки положення координатних осей не змiнилось. Тепер нехай додатково здiйснено паралельний перенос елiпсоїда в просторi разом з координатними осями. Внаслiдок цього декартовi координати X,Y , Z довiльної точки змiняться на величини dX, dY , dZ, але знов-таки змiняться i її геодезичнi координати. Виникає задача про знаходження приростiв dB, dL, dH геодезичних координат при одночасному паралельному переносi та змiнi розмiрiв елiпсоїда. Для її розв’язання будемо розглядати рiвняння (1.9) як такi, що визначають декартовi координати X,Y , Z як функцiї не тiльки геодезичних координат B, L, H, а й геометричних параметрiв елiпсоїда a та e2. Запишемо вирази

Частиннi похiднi в (2.26) обчислимо на основi формул (1.9). Система (2.26) є лiнiйною вiдносно dB, dL, dH, а тому з неї можна виразити залежнiсть приростiв геодезичних координат dB, dL, dH вiд приростiв декартових ко-

Якщо вважати, що прирости координат dX, dY , dZ в формулах (2.26) обумовленi змiщенням та поворотом елiпсоїда, то у вiдповiдностi з (2.21) можемо записати вирази для приростiв координат dX, dY , dZ, якi отримує

33

Розв’язання

Спочатку обчислимо

q

e1 = 2α1 −α21 = 0,081813, q

e2 = 2α2 −α22 = 0,081992, а також переведемо величини εx, εy, εz в радiани

εx = −1,115·10−5, εy = 6,3·10−6, εz = 9,2·10−6.

Елементи орiєнтування системи II вiдносно системи I наближено дорiвнюють

x′ ≈ − x, y′ ≈ − y, z′ ≈ − z, ε′x ≈ −εx, ε′y ≈ −εy, ε′z ≈ −εz. Задачу розв’яжемо двома способами: а) використовуючи формули

(2.21); б) формули (2.27).

Переведемо B1, L1, H1 в декартовi координати в системi I:

X1 = 1 650 295,006 м, Y1 = 5 300 453,032 м, Z1 = 3 132 758,117 м.

Для знаходження декартових координат пункту в системi II скористаємось формулами (2.21), пiдставивши в них X2,Y2, Z2 замiсть X,Y , Z та X1,Y1, Z1 замiсть X0,Y0, Z0, а також елементи орiєнтування системи II вiдносно системи I.

Тепер продемонструємо другий спосiб розв’язання. Спочатку за допомогою (2.21) обчислимо прирости декартових координат X, Y , Z, обумовленi переходом до системи координат II:

35