Вычисление собственных характеристик обратносимметричных матриц

Существует несколько способов приближенного вычисления наибольшего собственного значения матрицы попарных сравнений. Рассмотрим один из них. Необходимо вычислить сумму элементов в каждом столбце матрицы согласно формуле

(1.9)

Рассчитаем по формуле:

0,3166

0,16937

0,11743

0,14103

0,10762

0,14795

После чего воспользоваться формулой:

(1.10)

где x₁ - значения компонент вектора локальных приоритетов (1.2).

Вернемся к нашей задаче и оценим отношение согласованности для матрицы попарных сравнений второго уровня (рис.3). По формуле (1.9)

Рис. 7. Результаты поиска суммы элементов в каждом столбце матрицы

Согласно (1.10) наибольшее собственное значение матрицы сравнений

Рис. 8. Результаты поиска наибольшего собственного значение матрицы

Как и ожидалось,

Рис. 9. Результаты поиска индекса согласованности

Индекс согласованности согласно (1.7) равен

а отношение согласованности с учетом того, что при n=6 случайная согласованность СС=1,24 (рис.6), по формуле получает значение

Рис. 10. Результаты поиска отношения согласованости

Анализ результатов этапа исследования матрицы на согласованность.

Никаких изменений в матрицу, представленную на рис.3, вносить не будем. Поскольку отношение согласованности меньше 10%, будем считать матрицу попарных сравнений второго уровня удовлетворительно согласованной.

Построение матриц попарных сравнений третьего уровня.

Для каждого критерия проводятся попарные сравнения альтернатив и в соответствии с формулами (1.1) – (1.10) реализуются этап синтеза локальных приоритетов z_j (j - номер альтернативы, , в нашем примере m=4) и исследование матрицы на согласованность аналогично тому, как это сделано ранее.

На рис.11 показано проведение попарных сравнений альтернатив по критерию А1 «Быстродействие». В таблице 1.4 представлена матрица попарных сравнений третьего уровня по критерию «А₁. Быстродействие».

Рис. 11. Матрица попарных сравнений (третьего уровня) альтернатив по критерию А₁.

По формулам (1.1), (1.2) была вычислена сравнительная желательность альтернатив по первому критерию (b).

Далее просуммируем полученные значения (В):

B = 1,31607 + 1,0 + 0,75984 + 0,70711 =3,78302.

И по формуле (1.2), заменив идентификаторы x_i на z_j получен вес каждой из альтернатив по критериюА1.

,

(1.11)

Проведем проверку по формуле (1.3):

Условие (1.3) выполняется, значение погрешности вычислений вектора локальных приоритетов равно нулю.

Для остальных четырех матриц попарных сравнений третьего уровня приведем результаты расчетов на рис.12-16, опустив промежуточные вычисления.

Рис. 12. Матрица попарных сравнений (третьего уровня) альтернатив по критерию А₂.

Рис. 13. Матрица попарных сравнений (третьего уровня) альтернатив по критерию А₃.

Рис. 14. Матрица попарных сравнений альтернатив по критерию А₄.

Рис. 15. Матрица попарных сравнений альтернатив по критерию А₅.

Рис. 16. Матрица попарных сравнений альтернатив по критерию А₆.

Анализ результатов этапа вычисления векторов приоритетов для матриц попарных сравнений третьего уровня.

Будем считать, что значения компонент z_j в формуле (1.11) означает, что по критерию «Быстродействие» альтернатива M₁ заняла первое место (z₁=), альтернатива M₂ - второе место (z₂=0,26434), альтернатива M₃ - третье место (z₃=0,20085), альтернатива M₄ - четвертое место (z₄=0,8692).

Рассмотрим занятые места альтернатив по каждому критерию (рис.17-22).

Рис.17. Места альтернатив по критерию А₁

Рис.18. Места альтернатив по критерию А₂

Рис.19. Места альтернатив по критерию А₃

Рис.20. Места альтернатив по критерию А₄

Рис. 21. Места альтернатив по критерию А₅

Рис. 22. Места альтернатив по критерию А₆

С учетом полученных результатов для остальных матриц попарных сравнений третьего уровня на рис.12-16 представлено суммарное количество первых, вторых и так далее мест, занятых каждой альтернативой при вычислении значений компонент векторов локальных приоритетов представлено на рис.23.

Анализ количества мест, занятых каждой из альтернатив, свидетельствует о некотором превосходстве модели Смарткарты №1 (три первых места, 1-о вторых, 1-о третье и 1-о четвертое место) перед моделью Смарткарты №3 (два первых места), и перед моделью Смарткарты №4 (одно 1-е место) и далее модель Смарткарты № 2 (которая не заняла 1-е место). Однако окончательный вывод о превосходстве той или иной альтернативы сделать пока нельзя, посколько надо сначала провести анализ всех оценок, которые давались экспертом для каждой альтернативы.

Рис. 23. Суммарное количество занятых мест каждой из альтернатив