12

также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула lim f n (x) lim f (x) n ;

которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Под числом e понимают предел

который невозможно указать точным числом, но всегда можно

определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы

где θ - это отношение разности

2.f x0 0 и f x0 0 конечны;

3. f x0 0 f x0 0 ;

4.f x0 0 f x0 0 f x0 .

Замечательные пределы:

Замечательный тригономерический предел

Следствие

:

Доказательство

Замечательный показателе-степенной

следствие

доказательство

18.Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Равномерная непрерывность.

. Функция f (x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого ε > 0 можно найти такое δ = δ(ε) > 0, что |f (x1) — f (x2)|<ε для любой пары чисел x1 и x2 из данного множества, удовлетворяющей условию |x1—x2|< δ Например,

функция f (x) = x2 равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1 обязательно |x1 + x2|≤ 2).

Так, например, функция непрерывна в каждой точке интервала 0 < x < 1, но не является равномерно непрерывной в этом интервале, потому что, например, при ε = 1 для

любого δ > 0 (δ < 1) мы имеем удовлетворяющие неравенству |x1 — x2| < δ числа x1 = и x2= δ ,

для которых

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. . Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2. Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке. 3. . Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на

концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть ,

,то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между

и .

4.Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .

5.Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

19.Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Определение и смысл производной

1) Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

2) Геометрический смысл производной.

Пусть L – некоторая кривая,M0 – точка на кривой L.

Любая прямая, пересекающая L не менее чем в двух точках называется секущей. Касательной к кривой Lв точке M0 называется предельное положение секущей M0M1, если точка M1 стремится к M0, двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке M0существует, то она единственная

Таблица производных

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

и с помощью правил дифференцирования. Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.

c 0;

20.Дифференциал и его применения. Производные и дифференциалы высших порядков.

Дифференциал первого порядка и его применение. Функция у = f(x) на-

зываетсядифференцируемой в точке х0, если ее приращение в этой точке может бытьпредставлено в виде

Главнаяпри АФ О линейная часть ААх приращения Ау называется дифференциаломэтой функции в точке х0, соответствующим приращению Лх, и обозначается символом dy .

Для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f'(x0), при этом справедливо равенство А =f'(x0).

Это утверждение позволяет называть дифференцируемой всякую функцию, имеющую производную. Вводя обозначение dx = Ах, получаем формулу для вычисления дифференциала

dy = y'dx.

Для дифференциала установлено:

1)Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента (независимой переменной).

2)Разность между приращением функции ∆y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая более высокого порядка малости, чем приращение аргумента ∆x,1а также (при y/≠0) более высокого порядка, чем приращение функции ∆y и ее дифференциал dy.

3)Приращение функции ∆y и ее дифференциал dy при бесконечно малом ∆x являются равносильными бесконечно малыми dy≈∆y

Производные высших порядков

Если функция f (x), определенная в A , имеет производную во всех точках A, то эту производную можно рассматривать как новую функцию g(x) f '(x) ,

x A .

К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.

Если g(x) , определенная в A, имеет конечную производную g'(x) в точке

x A, то значение этой производной является второй производной функции

f (x).

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

21.Свойства функций, дифференцируемых на отрезке.

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке)..

Свойства дифференцируемых функций

ЕОРЕМА 1. Если функция имеет производную на множестве X, то она непрерывна на этом множестве.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из условия теоремы следует, что отношение имеет конечный предел для любого X из множества X при , то есть:

По теореме, определяющей необходимое и достаточное условие существования предела, будем иметь:

Где – бесконечно малая функция при , стремящемся к нулю. Находим приращение функции:

Оно складывается из двух бесконечно малых функций при , поэтому их сумма бесконечно мала, что и доказывает непрерывность функции .

Дифференцируемая функция непрерывна, значит, она имеет и предел в соответствующих точках..

ТЕОРЕМА 2. Если и дифференцируемы на множестве X, то производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных

(11. 1)

ТЕОРЕМА 3. Если для функции существует обратная функция и в

рассматриваемой точке Х производная , то обратная функция в соответствующей точке дифференцируема, причем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Придадим значению у приращение , тогда функция получит приращение , которое также отлично от нуля. Действительно, если бы ,

то , что невозможно. Следовательно, можно записать: