12

6.Произвольные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема КронекераКапелли. Однородные системы. Фундаментальная система решений. Неоднородные системы.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Однородные системы уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что r не превосходит n . В случае r n система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при

r n.

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа

неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

это значит, что матрица A вырожденная, т.е. A 0 .

7.Линейные пространства. Подпространства. Базис, размерность. Линейная оболочка.

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов).

Теорема разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно

зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства).

Пусть – система векторов из . Линейной

оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций векторов данной системы, т.е

Свойства линейной оболочки: Если , то для и .

Линейная оболочка обладает свойством замкнутости по отношению к линейным операциям (операции сложения и умножения на число).

Если у нас есть некоторое линейное пространство и векторы , по которым мы построили линейную оболочку , то эта линейная оболочка тоже будет являться линейным пространством

8.Евклидовы пространства. Норма вектора. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Неравенство Коши-Буняковского.

Вещественное линейное пространство L называется евклидовым, если в нѐм определена операция скалярного умножения: любым двум элементам x, yÎ L сопоставлено вещественное число a = (x, y) , удовлетворяющее следующим требованиям,

каковы бы ни были элементы x, y,zÎ L и число aÎR :

1.(x, y) = (y, x);

2.(x + y,z) = ((x,z) + (y,z));

3.(ax, y) = (x,ay) = a(x, y);

4.(x, x) > 0 для всех x ¹ q ;

5.(x, x) = 0 , если x = q .

Ортонормированный базис – это базис, состоящий из единичных (нормированных) и взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов. В этом случае базисные вектора имеют особые обозначения:

e1 = i, e2 = j, e3 = k.

(Неравенство Коши-Буняковского). Справедливо неравенство . Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Доказательство: для любых справедливо неравенство

. (1)

Причем равенство достигается лишь в том случае, когда или . Используя линейность и коммутативность скалярного произведения, неравенство (1) можно записать в виде

.

Разделив данное неравенство на положительное число , получим

.

Это неравенство преобразуем к виду

Поскольку неравенство справедливо для любых , то положив получим

((А + В)С)х = (А + В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х.

Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В)С = АС + ВС. Свойство 2° установлено.

Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.

Свойство 4° справедливо, поскольку, произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны

Определение 1. Линейный оператор В из L(V, V) называется обратным для оператора А из L(V, V), если выполняется соотношение

АВ = ВА = I.

Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А-1.

Из определения обратного оператора А следует, что для любого х Є V справедливо

соотношение А-1Ах = х.

Таким образом, если А-1Ах = 0, то х = 0, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = 0 следует, что х = 0.

Квадратные матрицы и n-го порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица ,

Свойства подобных матриц

Свойства подобных матриц

1.Каждая квадратная матрица подобна самой себе: .

2.Если матрица подобна матрице , то и подобна

.

10.Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные и самосопряженные операторы. Собственные векторы и собственные значения. Канонический вид матрицы.

Собственными числами матрицы являются корни уравнения

и только они.

Доказательство. Пусть столбец -- собственный вектор матрицы с собственным числом . Тогда, по определению, . Это равенство можно переписать в

виде . Так как для единичной матрицы выполнено ,

то . По свойству матричного умножения и предыдущее равенство принимает вид

(19.4)

Допустим, что определитель матрицы отличен от нуля, . Тогда у этой матрицы существует обратная . Из равенства получим,

что , что противоречит определению собственного вектора. Значит,

предположение, что , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения .

Пусть -- корень уравнения . Тогда базисный минор матрицы не

может совпадать с определителем матрицы и поэтому , -- порядок матрицы . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных

уравнений с неизвестными , являющимися элементами матрицы-столбца

. число решений в фундаментальной системе решений равно , что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы .

Определитель является многочленом степени от переменного , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.