контр раб по матем 2 семестр_строит

Задача 4.

В задаче нужно вычислить интеграл с помощью формулы Симпсона при указанных значениях параметра, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до 3-его десятичного знака числа. Параметр p равен последней цифре номера варианта плюс 1.

4.1 – 4.10

4.11 – 4.20

4.21 – 4.30

4.31 – 4.40

4.41 – 4.50

4.51 – 4.60

4.61 – 4.70

4.71 – 4.80

4.81 – 4.90

4.91 – 4.100

Задача 5

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

71. 

72. 

73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78. 

79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. 

88. 

89. 

90. 

91. 

92. 

93. 

94. 

95. 

96. 

97. 

98. 

99. 

100. 

Задача 6

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой .

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами и .

6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболой и осью Оу.

7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми и.

8. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки A(2;0) до точки B (6;8)

9. Вычислить длину кардиоиды .

10. Вычислить длину одной арки циклоиды .

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и локоном Аньези.

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой.

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .

15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.

16. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной эллипсом .

17. Вычислить длину кривой между точками пересечения с осями координат.

18. Вычислить длину полукубической параболы от точки O(0; 0) до точки M.

19. Найти длину дуги полукубической параболы , заключенной внутри окружности .

20. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой и осью Ох.

21. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами и .

22. Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды , расположенной над осью Оx.

23. Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды .

24. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и осями координат Ох и Оу .

25. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а = 2м, радиус r = 0.3м.

26. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 3м и радиусом основания r = 1 м, на его стенки. Плотность бензина р.

27. В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка диаметром d = 1.5м, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давления жидкости на пластинку.

28. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой от до .

29. Найти длину дуги кривой .

30. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

31. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

32. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой .

33. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и окружностью r = 4.

34. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

35. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной цепной линией , осью Ох и прямыми х = ±1.

36. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами у = х² .

37. Вычислить объем тела, образованного вращени­ем вокруг оси Оу фигуры, ограниченной локоном Аньези , прямой и осью Оу.

38. Вычислить длину дуги полукубической параболы от x = 0 до x = 3.

39. Вычислить длину астроиды .

40. Вычислить длину кардиоиды .

41. Найти координаты центра тяжести однородной дуги цепной линии от точки (0, 1) до точки .

42. Найти координаты центра тяжести дуги астроиды , расположенной в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

43. Деревянная прямоугольная балка, размеры поперечного сечения которой а = 0,4 м, b = 0,2 м, длина l = 4,5 м, плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева у = 0,8 Г/см³. Вычислить работу, необходимую для извлечения балки из воды.

44. Растяжение (удлинение) пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кГ, удлиняет ее на 1 см.

45. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму прямого круглого конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз, если радиус основания конуса r = 2 м и высота h = 5 м.

46. Вертикальная плотина имеет форму параболического сегмента, высота которого h—12 м, а верхнее осно­вание совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 30 м. Вычислить силу давления воды на плотину.

47. Вертикальная плотина имеет форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 50 м, нижнее основание b = 20 м, а высота h = 15 м. Вычислить силу давления воды на плотину.

48. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой косинусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .

49. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .

50. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами .

Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара Р. Удельный вес воды при­нять равным 9,81кН/м , = 3,14. (Результат округлить до целого числа.)

51. Р: правильная четырехугольная пирамида со сторо­ной основания 2м и высотой 5м.

52. Р: правильная четырехугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота — 6м.

53. Р: котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5м и радиус 1м.

54. Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м, дли­ на 5м.

55. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1м, нижнего — 2м, высота — Зм.

56. Р: желоб, перпендикулярное сечение которого явля­ется параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м.

57. Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания ко­ торой 1м, длина 5м.

58. Р: правильная треугольная пирамида с основанием 2м и высотой 5м.

59. Р: правильная треугольная пирамида, обращенная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высота 6 м.

60. Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5м.

61. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего — 1м, высота — 3м.

62. Р: конус с радиусом основания 2 м и высотой 5 м.

63. Р: правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижнего — 4 м, высота— 2м.

64. Р: параболоид вращения, радиус основания которо­го 2м, глубина 4м.

65. Р: половина эллипсоида вращения, радиус основания которого 1м, глубина 2м.

66. Р: усеченная четырехугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 4 м, высо­та — 1м.

67. Р: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м и высотой 2м.

68. Р: правильная шестиугольная пирамида с верши­ной, обращенной вниз, сторона основания которой 2 м, высота 6м.

69. Р: цилиндр с радиусом основания 1 м и высотой 3 м.

70. Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м.

71. Р: желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1м, длина желоба 10 м.

72. Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 1м, высота — 2м.

73. Р: полусфера радиусом 2м.

Вычислить работу, затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения Q из некоторого матери­ала, удельный вес которого - (Результат округлить до целого числа.)

74. Q: правильная усеченная четырехугольная пирами­ да, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего 4м, высота 2м; = 24кН/м³.

75. Q: правильная шестиугольная пирамида со сторо­ной основания 1м и высотой 2м; — 24кН/ м³ .

76. Q: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 4м; - 24кН/ м³.

77. Q: правильная шестиугольная усеченная пирамида, сторона верхнего основания которой равна 1 м, нижнего 2м, высота — 2м; = 24кН/м³.

78. Q: правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 м и высотой 6м; = 20кН/м³ .

79. Q: конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м; = 20 кН/м³.

80. Q: усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м; — 21 кН/ м³

Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями.

81. Ф — треугольник, стороны которого лежат на пря­мых х + у = a, x = 0 и y = 0.

82. Ф ограничена эллипсом х²/а² + у²/b² = 1 и осями координат (х 0, у 0).

83. Ф ограничена первой аркой циклоиды

х — a(t — sin t), у = a(l — cost) и осью Ох.

84. Ф, ограничена кривыми у = х², .

85. Ф ограничена дугой синусоиды у = sin x и отрезком оси Ох ().

86. Ф ограничена полуокружностью и осью Ох.

87. Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Ох и прямой х = b.

88. Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Оy и прямой y = b.

89. Ф ограничена замкнутой линией у² = ах³ - х⁴.

90. Ф ограничена осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте.

91. Ф — сектор круга радиусом R с центральным углом, равным 2а.

92. Ф ограничена кардиоидой = а(1 +cos).

93. Ф ограничена первой петлей лемнискаты Бернулли = a²cos2.

94. Ф ограничена осями координат и параболой.

95. Ф ограничена полукубической параболой ау² = х³ и прямой х = а (а > 0).

96. 

97. 

98. 

99. r = 3 + sin2 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.

100. r = 2 — cos3 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.

Задача 7. Определить и изобразить область существования следующей функции:

7.1. ; 7.2. ;