Расчетно-графическая работа № 2 «гармонический анализ непериодических сигналов»

Цель:Освоение методики проведения анализа непериодических сигналов, расчета их основных характеристик и изучение свойств преобразования Фурье в применении к определению спектральной плотности основных видов непериодических сигналов.

Краткие теоретические сведения.Для выполнения данной работы необходимо знание следующих основных понятий и формул: прямое и обратное преобразования Фурье и их свойства; модуль и аргумент спектральной плотности; амплитудные и фазовые спектры непериодического сигнала и правила их построения; энергия непериодического сигнала и ее распределение в спектре.

Выражения, определяющие взаимосвязь между функцией сигнала и его спектральной функцией, называются парой преобразований Фурье.

(1)

(2)

Формулы (1) и (2) называются соответственно прямымиобратнымпреобразованиями Фурье.

Спектральная плотность импульса сигнала обладает всеми свойствами коэффициентов комплексного ряда Фурье. Можно записать:

S(ω) =A(ω) –jB(ω) (3)

;

(4)

Модуль и аргумент спектральной плотности соответственно являются амплитудно-частотнойифазо-частотнойхарактеристиками импульсного сигнала, и определяются:

–АЧХ;(5)

–ФЧХ.(6)

В силу своего определения АЧХ является четной функцией частоты, а ФЧХ – нечетной.

Свойства преобразования Фурье:

1. Сдвиг колебания во времени.

.(7)

Сдвиг сигнала по оси времени на произвольную величину t₀приводит к изменению фазовой характеристики спектральной функции наωt_0.

2. Изменение масштаба времени.

.(8)

При сжатии колебания в краз по оси времени во столько же раз расширяется его спектр по оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается вкраз. Очевидно, что при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

3. Смещение спектра колебания.

(9)

Умножение исходного сигнала на гармоническое колебание приводит к расщеплению его спектра на две составляющие, смещенные относительно исходного соответственно на w₀.

4. Дифференцирование и интегрирование сигналов.

.(10)

Для производной п-го порядка и интеграла данного сигнала соответственно:

; .

Таким образом, операциям дифференцирования и интегрирования по временной области соответствует операция обычного алгебраического умножения в области частотной. При этом дифференцирующие и интегрирующие цепи можно рассматривать соответственно как обострители и сглаживающие фильтры для исходных сигналов.

5. Сложение и умножение двух колебаний.

Поскольку преобразование Фурье является линейным, то для суммы любого количества сигналов S(t) =S₁(t) +S₂(t) +S₃(t) +... их результирующая спектральная плотность будет определяться соответствующей суммой:

S(ω) = S₁(ω) + S₂(ω) + S₃(ω) +...(11)

Для произведения двух сигналов s(t) = u(t) v(t)результирующая спектральная плотность определится интегралом свертки:

(12)

Операция свертки коммутативна, т.е. S(ω) =U(ω)*V(ω) =V(ω)*U(ω).

6. Инверсия аргумента.

Для четных колебаний справедливо следующее правило: если , то .

Энергия непериодического сигнала

Энергия непериодического сигнала во временной области определяется так же, как и для периодических сигналов (см. предыдущую работу) на том интервале времени, на котором данный сигнал существует.

Равенство Парсеваля

(13)

выражает связь между энергией непериодического сигнала и его спектральной плотностью. При этом квадрат модуля спектральной плотности можно рассматривать как спектральную плотность энергии колебания.

Задание.Для предложенных в соответствии со своим вариантом видов сигналов:

1. Получить общие выражения для спектральной плотности анализируемого сигнала, ее модуля и аргумента.

2. Построить амплитудный и фазовый спектры.

3. Определить спектральную плотность для данного импульса, смещенного во времени на t₀= 1/4t_и; для его производной и интеграла.

4. Определить спектральную плотность для импульса, сжатого или растянутого во времени с коэффициентами k= 0,5 иk= 2 и построить соответствующие амплитудные спектры.

5. Для конкретных параметров импульса определить эффективную ширину спектра. Считать, что эффективная ширина спектра определяется полосой частот от нуля до частоты, соответствующей: а) первому, б) второму; в) третьему нулю модуля спектральной плотности.

6. Определить энергию данного импульса во временной области и ее распределение в спектре.

7. Определить эффективную ширину спектра, в которой сосредоточено 90% энергии данных сигналов и сравнить результат с п.5.

Исходные данные для расчетов.

1. Прямоугольный: а) четный; б) нечетный импульсы.

2. Треугольный импульс.

3. Косинусоидальный и синусоидальный импульсы:

a) s(t) = E cos w_ot; б) s(t) = E sin w_ot.

4. Экспоненциальный импульс: s(t) =Uexp(-t).

Варианты/ Параметры	1	2	3	4	5	6	7
Амплитуда, В	4	5	6	7	8	9	10
Длительность импульса, мс	0,01	0,1	1	10	100	50	20
, с-1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7

Контрольные вопросы:

1. Как можно определить физический смысл спектральной плотности?

2. Какими характерными особенностями отличаются спектральные плотности для сигналов, являющихся четными функциями времени?

3. Какими функциями частоты являются действительная и мнимая части спектральной плотности?

4. В чем принципиальное отличие амплитудных и фазовых спектров периодических и непериодических сигналов?

5. Определите значение спектральной плотности сигнала при изменении его масштаба времени с коэффициентом к= – 1 и проанализируйте полученный результат.

6. Какому виду импульсов соответствует свойство смещения спектра сигнала, используемое при умножении его функции на гармоническое колебание?

7. В чем характерная особенность спектра дельта-функции?

8. Какую роль играет фаза спектральной плотности сигнала при определении его энергетического спектра?

9. Могут ли два нетождественных сигнала обладать одним и тем же энергетическим спектром?

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3