Чебышевская аппроксимациязадается частотным коэффициентом передачи мощности следующего вида:

,

где Т_n– полином Чебышевап-ой степени, который может быть определен из рекуррентного соотношения:T_n(x) = 2xT_n-1(x) –T_n-2(x), при этомT₀(x) = 1 ,T₁(x)=x.

Полиномы Чебышева обладают следующим свойством: среди всех полиномов n-й степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента, они меньше всего отклоняются от нуля для; приони достигают резкого увеличения своих значений.

Полюса передаточной функции для Чебышевского фильтра определяются следующим образом:

1. Необходимо вычислить вспомогательный параметр:

2. Найти полюса для фильтра Баттерворта соответствующего порядка.

3. Переход к полюсам чебышевского фильтра осуществляется в соответствии с выражениями:

В отличие от полюсов фильтра Баттерворта полюса фильтра Чебышева располагаются не на окружности, а на эллипсе, но для передаточной функции отбираются они по тому же принципу.

Реализация НЧ-фильтров

Для реализации принципиальной схемы фильтра используется так называемый структурный синтез, когда цепь образуется каскадным включением звеньев, и общий частотный коэффициент передачи такого устройства определяется по формуле:

K(p)=K₁(p)K₂(p)...K_n(p).

Коэффициенты передачи звеньев должны реализовывать те полюса передаточной функции, которые были получены на этапе аппроксимации.

Для синтеза НЧ-фильтров требуются каскады двух видов: звенья первого порядка, которые имеют один вещественный полюс, и звенья второго порядка, которые имеют пару комплексно-сопряженных полюсов.

В качестве звена первого порядкаможно использовать интегрирующуюRC-цепь, частотный коэффициент передачи которой и единственный полюс определяются следующим образом:

, ,.

Сопоставляя значения найденного на этапе аппроксимации нормированного полюса и конкретного для данного звена, можно определить номиналы входящих в схему элементов (один из них выбирается произвольно):

Р₁=Р_нω_с;

В качестве звена второго порядкаможно использовать любой Г-образный четырехполюсник, содержащийR,L,Cэлементы, дифференциальное уравнение которого имеет соответственно пару комплексно-сопряженных корней:

L

C R

U_вхU_вых

U_вх=U_L+U_R ;;

.

Тогда переход от нормированных полюсов к обычным частотам осуществится по формуле: P_1,2=Pн_1,2ω_с.

Реализация ВЧ-фильтров

Для того, чтобы на основе синтезированного ФНЧ реализовать ФВЧ с той же частотой среза, необходимо осуществить замену переменной:

В результате такой замены конденсаторы и катушки индуктивности меняются местами с соответствующей заменой номиналов.

; .

Резистивные элементы при этом остаются без изменения.

Реализация полосовых фильтровосуществляется в результате следующей замены частотной переменной, при этом частота среза соответствующего ФНЧ становится центральной частотой полосового фильтраω₀:

.

В результате такой замены:

;

.

Таким образом, ФНЧ является фильтром-прототипом, параметры которого позволяют перейти к соответствующим схемам полосовых фильтров и ФВЧ.

Задание:Для приведенных ниже в соответствии со своим вариантом исходных параметров определить:

1. Функцию частотного коэффициента передачи мощности К_р(w_н) и построить ее график.

2. Полюса функции К_р(w_н).

3. Передаточную функцию фильтра К(р).

4. Тип структурной схемы фильтра, соответствующей полученной передаточной функции.

5. Номиналы элементов, входящих в схему.

6. Соответствующие схемы ФВЧ и ПФ с той же частотой среза.

7. Промоделировать полученные схемы ФВЧ и ПФ в программе ElectronicsWorkbenchи построить их АЧХ.

8. Оформить полученные теоретические расчеты и графические материалы.

Исходные данные для расчетов:

Параметры /Вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тип (Чеб/Бат) и порядок ФНЧ Частота среза wс, с-1 Сопротивление нагрузки Rн,, кОм 4. Коэффициент неравномерности характеристики 	Чеб, 4 4*105 2 0,7	Бат, 5 3*104 2 -	Чеб, 5 3*105 1 0,8	Чеб, 2 2*105 0,5 0,9	Чеб, 3 106 0,9 1	Бат, 3 5*104 1,5 -	Бат, 4 2*104 1 -	Бат, 2 2*106 0,3 -	Бат, 6 3*106 1,2 -	Чеб, 6 5*105 0,4 0,6

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте технические требования к АЧХ для фильтров верхних частот и полосовых.

2. По какому правилу отбираются полюса для передаточной функции четырехполюсника?

3. Можно ли, зная порядок фильтра, определить количество необходимых для него звеньев?

4. Из каких соображений осуществляются замены элементов при переходе от ФНЧ к ФВЧ и ПФ? Какое условие должно выполняться при таких заменах?

5. Четырехполюсники какого типа можно использовать в качестве звеньев второго порядка при синтезе фильтров?

6. Как соотносятся между собой полюса нормированной частоты, полученные на этапе аппроксимации, со значениями полюсов реального четырехполюсника?

7. Как значение влияет на вид АЧХ фильтра Чебышева?

8. Как изменяется АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева с ростом порядка фильтра?