- •Вопросы к зачету для заочного отделения по курсу
- •II. Векторная алгебра.
- •III. Аналитическая геометрия.
- •IV. Математический анализ
- •I. Линейная алгебра Матрицы Прямоугольная таблица чисел
- •Пример. Даны матрицы а и в. ;. Найти произведение матриц ав.
- •Определители.
- •Методы решения систем линейных уравнений.
- •Обратная матрица.
- •Решение систем уравнений матричным методом.
- •Ранг матрицы.
- •Окаймляем его слева и снизу
- •Окаймляем d3 ( это только можно сделать двумя способами)
- •Прямоугольные системы уравнений.
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •II. Векторная алгебра.
- •Единичным вектором, или ортом данного вектора, называется вектор, совпадающий по направлению с данным вектором и имеющий модуль, равный единице. Прямоугольные координаты
- •III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости
- •Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Если уравнения прямых заданы в общем виде
- •Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Нормирующий множитель
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Уравнение плоскости в нормальном виде
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •Угол между двумя плоскостями
- •Острый угол между прямой иплоскостью
- •Кривые второго порядка.
- •Простейшее уравнение гиперболы
- •Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями
- •Простейшее уравнение параболы
- •IV. Математический анализ Функция одной переменной
- •Предел функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Дифференциальное исчисление. Производная. Техника дифференцирования. Обозначение
- •Производная сложной функции
- •Параметрически заданные функции и их дифференцирование
- •Правило Лопиталя
- •Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •Признаки возрастания и убывания функций
- •Максимум и минимум функции
- •Первое достаточное условие существования экстремума функции
- •Второе достаточное условие существования экстремума
- •Асимптоты.
- •Общее исследование функции
Производная сложной функции
Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые, то. Аргумент u часто называют промежуточной переменной. Это правило выполняется для сложной функции, которая имеет конечное число промежуточных аргументов. Если, например, у = f(u) и u = u(v), v=v(x), то, если f(u) , u(v) и v(x) - дифференцируемые.
Формулы дифференцирования основных функций
1.8.
2.,9.,
3.10.
4.11.
5.
6.12.
7.13.
Примеры. Найти производные функций:
1. у = х4 – 2х3 + 3х + 1
Решение. Используя правила и формулы дифференцирования, получаем: (х4 – 2х3 + 3х + 1)' ==.
2.
Решение. Поскольку , то=.
3.
Решение. Имеем произведение функций, поэтому
4.
Решение. Данная функций является сложной: у = f(u) , u = u(x), где u = х2 + 2х..
Дифференцирование неявно заданных функций
Равенство обозначает у как неявную и дифференцированную функцию от х. Продифференцировав по х обе части равенства, получим линейное, относительноравенство, из которого получим значение.
Пример. Найти , если у > -5:
(1)
Решение. Поскольку у функция от х, то у2 – сложная функция и . Продифференцируем обе части равенства по х:
(2)
Подставляя в равенство (1) х = 0, получим
откуда
Поскольку у > -5, то . Используя (2), имеем.
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмической производной функции у = f(x) называется производная от логарифма этой функции:
В некоторых случаях предварительное логарифмирование значительно упрощает дифференцирование функции, а для функции вида есть единственно возможным способом дифференцирования.
Примеры:
Найти производную функции .
Решение: Логарифмируя обе части равенства получаем
, откуда
.
Поэтому, ==
Найти производную показательно-степенной функции .
Решение: Имеем = =
Производные высших порядков.
Производную илиназывают производной первого порядка функции f(x). Производнаяназывается производной второго порядка и обозначается одним из символов:. В общем виде производную n –го порядка (или n-ой производной) называется производная от производной порядка (n – 1), то есть. Обозначения, например:.
Пример. Найти производную n –го порядка функции у = cos x.
Решение. Последовательно дифференцируя, получим:
у = cos x = сos(x+0)
x = cos(x+1)
x = cos(x+2)
x = cos(x+3)
……………………………….
cos(x+n), n=
Параметрически заданные функции и их дифференцирование
Первую производную функции, заданной параметрически
находим по формуле .
Вторую производную удобно вычислять по формуле: .
Пример. Найти производную второго порядка функции
Решение. Согласно формуле:
Далее, .
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя дает возможность раскрыть некоторые виды неопределенности, используя производную. Оно основывается на данной ниже теореме.
Теорема. Пусть функции иопределенные и дифференцируемые в окружности точки, за исключением, возможно, самой точки а, и пустьв этой окружности. Если функциииявляются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими прии к тому же существует отношение производных, то существует также предел, причем эти пределы равны между собой:=.
Теорема справедлива и в том случае, когда . Если производныеи, n > 2, удовлетворяют тем же самым условиям, что и функциии, то=.
Теорема дает возможность раскрыть неопределенность типа , которые будем называть основными. Чтобы раскрыть неопределенности типа 0,необходимо вначале привести их к основным и применить правило Лопиталя.
Пример.
1.
2. =
3.
4.
5.
Откуда, .
6. , действительно,
.
Напомним, что во многих случаях пользуемся равенством .