II часть Примеры решения задач
Задача 1. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны . Принимая Солнце за абсолютно черное тело определить: а) энергетическую светимость Солнца; б) поток энергии, излучаемый Солнцем; в) массу электромагнитных волн, излучаемых Солнцем за одну секунду.
Дано:Решение
а)
Энергетическая светимость Rэ
абсолютно черного тела по закону Стефана
- Больцмана равна
(1)
t = 1
Rэ - ? Ф - ?
т - ?
где - постоянная Стефана - Больцмана,Т – абсолютная температура излучающей поверхности.
Температура определяется из закона смещения Вина
где = 2,9. 10-3 м К – постоянная Вина, т – длина волны, заданная в задаче. Выразив температуру из закона Вина и подставив ее в (1), получим
.
Вычислим Rэ:
б) Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности:
где R = 7 . 108 м – радиус Солнца.
Вычислим Ф:
в) Массу электромагнитных волн за 1 с определим из закона пропорциональности массы и энергии
,
где с – скорость света в вакууме.
Энергия электромагнитных волн равна произведению потока энергии (мощности излучения) на время t
Е = Ф t.
Следовательно, , откуда
.
Вычислим т:
Ответ: Rэ = 6,4 . 107 , Ф = 3,9. 1026 Вт, т = 4 . 109 кг.
Задача 2. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела т = 0,58 мкм. Определить спектральную плотность е энергетической светимости, рассчитанную на интервале длин волн 1) = 1 м; 2) = 1 нм, вблизи т.
Дано: Решение
Максимум
спектральной плотности энергетической
светимости пропорционален пятой степени
абсолютной температуры
м
е - ?
где для единичного интервала длин волн 1 м.
Абсолютную температуру Т вычисляем по закону смещения Вина:
,
где .
Тогда
Вычислим :
полученное значение спектральной плотности энергетической светимости соответствует интервалу длин волн = 1 м, для интервала длин волн = 10-9 м получим
Ответ:
Задача 3. Определить температуру Солнца, если на 1 см2 поверхности Земли поступает за 1 мин 8 Дж энергии.
Дано:
t = 1 мин = 60 сек
W1 = 8 Дж
Т-?
Рис.28.3
Выписываем из таблицы
м;
RC-З = 1,49 . 1011 м.
Решение
По закону Стефана – Больцмана
где
По определению энергетическая светимость Rэ – это энергия, испускаемая единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям в единицу времени. Тогда
где W – полная энергия, излучаемая Солнцем; - площадь поверхности Солнца;t – время излучения; - энергия, приходящаяся на 1 м2 поверхности Земли; - поверхность сферы, в которую излучается энергия Солнца.
Тогда ,
.
Вычислим Т:
Ответ: Т = 5750 К.
Задача 4. Поток энергии, излучаемой из смотрового окошка плавильной печи, Ф = 34 Вт. Определить температуру печи, если площадь отверстия S = 6 см2.
Дано: Решение
Ф
По закону Стефана - Больцмана
Rэ
=
Т 4,
S = 6 . 10-4 м2
Т - ?
откуда
.
По определению
Ответ: Т = 1000 К.
Задача 5. Какова должна быть температура абсолютно черного тела, чтобы максимум спектральной плотности энергетической светимости приходился на красную границу видимого спектра (7,6 . 10-7)? На фиолетовую (3,8 . 10-7 м)?
Дано:Решение
м Температуру определим из закона Вина:
м
Вычислим
Ответ:
Задача 6. Какое количество энергии излучает 1 см2 затвердевающего свинца в 1 сек. отношение энергетических светимостей поверхностей свинца и абсолютно черного тела для этой температуры считать равным 0,6. Температура поверхности t = 327 0С.
Дано: Решение
По закону Стефана - Больцмана для
абсолютно черного тела
,
для любого тела
t = 1 с
= 0,6
Т = 600 К
W - ?
,
где - энергетическая светимость тела.
По определению откуда, тогда.
Вычислим энергию W:
Ответ: W = 0,46 Дж.
Задача 7. В каких областях спектра лежат длины волн, соответствующие максимуму спектральной плотности энергетической светимости, если источником света служит: 1) спираль электрической лампочки (Т = 3000 К); 2) поверхность Солнца (Т = 6000 К); 3) атомная бомба в момент взрыва (Т = 107 К)? Излучение считать близким к излучению абсолютно черного тела.
Дано:Решение
По закону смещения Вина
,
где
.найдем
:
= 6000 К
= 107 К
;
;
Изобразим график зависимости спектральной плотности энергетической светимости от длины волны и температуры (рис.28.4).
Ответ: = 9,7. 10-7 м, = 4,7. 10-7 м, = 2,9. 10-10 м.