Решение

Интенсивность света, попадающего в данную точку экрана М, пропорциональна квадрату суммарной амплитуды всех световых волн, попадающих в данную точку, т.е.  . Для вычисления амплитудыА применяется метод зон Френеля (стр. 231 - 232). Разность хода лучей, приходящих в точку М от двух соседних зон, по условию построения зон равна , т.е. волны от соседних зон попарно друг друга гасят, так как в одну точку эти волны приходят в противоположных фазах. Тогда

,

где - амплитуда колебанийт-й зоны. При этом

Сумма членов такого ряда равна

Если фронт волны открыт полностью (нет преграды), то  0, следовательно

а интенсивность



1. Если открыта одна зона Френеля, то амплитуда в точке М равна . Тогда интенсивностьJ  , отношение

Интенсивность света, прошедшего через круглое отверстие, в четыре раза больше, чем интенсивность от открытого фронта. Произошло усиление интенсивности.

2. Открыты две зоны Френеля. Найдем амплитуду колебаний, прошедших через такое отверстие:

Так как мало отличается от(зоны расположены рядом), то в точкеМ получится ослабление интенсивности, т.е. В точкеМ будет темное пятно.

3. Отверстие оставляет открытыми сто зон. Тогда

но ,

следовательно, амплитуда уменьшится незначительно, , т.е. она будет почти такой же, как.

В случае двух зон темнота в точке М будет гуще, чем в случае ста зон.

Ответ: наибольшая интенсивность в точке М будет , когда открыта одна зона Френеля; Интенсивность, так как две соседние зоны друг друга гасят,, интенсивность будет уменьшена, но темнота неполная.

Задача 2. Тонкая металлическая пластинка имеет отверстие диаметром d = 4 мм и освещается светом с длиной волны  = 5 ^. 10 ^–7 м. Экран расположен на расстоянии м от пластины. Темное или светлое пятно наблюдается в центре экрана?

Дано:

d = 4 мм = 4 ^. 10^-3 м

 = 5 ^. 10 ^–7 м

= 1 м

т - ?

Рис. 26.8

Решение

Построим зоны Френеля. Пусть - радиус нулевой зоны Френеля, а- радиус последней зоны Френеля, укладывающейся в отверстии:

, (1)

где т – число зон Френеля.

Из прямоугольного треугольника АВМ можно определить

. (2)

Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем

Величиной можно пренебречь как величиной второго порядка малости;- квадрат радиуса отверстия.

Тогда

Число зон

(3)

Вычисления:

зон.

Ответ: число зон, укладывающихся в отверстии, четное, следовательно, в центре экрана наблюдается минимум освещенности (темное пятно).

Анализ решения: из выражения (3) видно, что число зон, укладывающихся в отверстии, зависит от расстояния данного отверстия до экрана. При увеличении расстояния число зон уменьшается. Увеличивая расстояние,можно получитьт = 7 зон в отверстии; получится светлое пятно в центре. Если дальше увеличивать расстояние можно получить 6 зон (min) , 5 зон (max), т.е. при увеличении расстояния в центре экрана чередуются светлое и темное пятна. Последнее четное число зон равно двум, следовательно, если еще увеличивать расстояние, то зоны погасить друг друга полностью не смогут. При т = 2 в центре будет последний раз темное пятно. При дальнейшем увеличении т = 1 (свет), т = - тоже свет и т. д.

Задача 3. На узкую щель нормально падает монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующий второй светлой дифракционной полосе  = 1⁰. скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?

Дано:

 = 1⁰

т = 2 (max)

Рис. 26.9

Построим зоны Френеля. Пусть а – ширина щели, b – ширина зоны. Для этого выберем из всех лучей, прошедших через щель и отклоненных вследствие дифракции (огибания) от прямолинейного распространения, лучи, идущие параллельно друг другу под углом  к первоначальному направлению. Лучи от соседних зон должны иметь разность хода (рис. 26.9). Тогда соседние зоны попарно друг друга гасят. Если число зон нечетное, то одна зона остается непогашенной и в точке экрана эта зона даст свет, т.е. получится максимум освещенности. Обозначим число зон, укладывающихся в щели, гдеа – ширина щели, b – ширина зоны. Из малого треугольника (прямоугольного), один катет равен , гипотенуза равнаb, получим

.

Тогда

. (1)

Если число зон нечетное, т.е. Z = (2 т + 1), т = 0, 1, 2, 3 . . ., то лучи, идущие под углом , дадут максимум освещенности, что и требуется по условию задачи.

Условие max от одной щели:

. (2)