Подставив формулы (2) и (3) в (1), получим

;

Ответ:  = 0,023.

Задача 8. Груз массой т = 0,5 кг, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой k = 50 , помещен в масло. Коэффициент трения в маслеr = 0,5 . На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по законуН. 1) При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? 2) Чему равна максимальная амплитуда? 3) Какова амплитуда вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое больше резонансной?

Дано:Решение

т

Максимальной амплитуда колебаний будет при резонансе, т.е. при условии или, еслито.

Сравним величины  и .

Собственная частота колебаний груза на пружине

= 0,5 кг

k = 50

r = 0,5

Н

; с^-1.

Коэффициент затухания с^-1.

Можно считать и тогдас^-1.

Амплитуда вынужденных колебаний

;

при резонансе , тогда

м.

Если то

м.

Ответ:  = 10 с^-1; = 0,4 м;= 0,013 м.

Задача 9. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси х с периодом Т = 10 с и амплитудой А = 5 см. За какое время, считая от начала движения, она пройдет расстояние равное: 1) половине амплитуды, 2) амплитуде. Задачу решить при условии, что начальная фаза 1) и 2)рад.

Дано: Решение

Т

Уравнение смещения при гармоническом колебании

(1)

1. Если , то уравнение (1) примет вид

= 10 с

А = 5 см = 0,05 м

?  ?

,

при t = 0 х = А, т.е. точка начинает движение из крайнего положения, скорость точки равна нулю. С течением времени координата уменьшается:

, (2)

по условию, тогда , так как, то, откудаи,с.

Подставляя в уравнение (2) , получим, т.е.. Смещение равно нулю, значит точка находится в положении равновесия

, т.е. и,с.

Таким образом, если материальная точка движется из крайнего положения к положению равновесия, то первую половину амплитуды она проходит с меньшей скоростью, скорость увеличивается и при прохождении положения равновесия достигает максимального значения.

2) Начальная фаза , уравнение (1) принимает вид

, (3)

при t = 0 , т.е. точка начинает движение из положения равновесия. Подставляя в уравнение (3) значение, получим, откуда, следовательно, откудаис.

Подставляя в уравнение (3) значение , получим, откудаследовательно,, откудас.

Итак, если материальная точка движется из положения равновесия, то первую половину амплитуды она проходит быстрее, чем вторую, т.е. скорость уменьшается, и в крайнем положении скорость равна нулю. Двигаясь из любого положения, смещение равное амплитуде, точка проходит за время, равное периода.

Ответ: 1) = 1,67 с,с; 2)= 0,83 с,с.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 5 см, если за 1 минуту совершается 150 колебаний, начальная фаза колебаний 45⁰.

Ответ: см.

Задача 2. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости? х = Asint.

Ответ: .

Задача 3. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебания по уравнению , проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

Ответ: t = 1 с.

Задача 4. Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с. Найти максимальные значения скорости и ускорения колеблющейся точки.

Ответ: ;.

Задача 5. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, 3 ^.10^-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, 1,5 ^.10^-3 Н. Написать уравнение движения тела, если период колебаний 2 с и начальная фаза 60⁰.

Ответ: м.

Задача 6. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени: 1) с; 2)с; 3)с, гдеТ – период колебаний? Начальная фаза колебаний равна нулю. х = Asint.

Ответ: 1)

Задача 7. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: 1) , гдеА – амплитуда колебаний? Начальная фаза колебаний равна нулю.

Ответ: 1)

Задача 8. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебаний 3 ^.10^-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на точку действует сила 2,25 ^.10^-5 Н?

Ответ: х = 1,5 ^.10^-2 м.

Задача 9*. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями м им.

Ответ: А = 4,6 ^.10^-2 м,  = 0,35  рад.

Задача 10. Написать уравнение результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний, направленных по одной прямой и заданных уравнениями м им.

Ответ: м.

Задача 11. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний = 3 см и= 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если 1) колебания совершаются в одном направлении, 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Ответ: 1) А = 7 см; 2) А = 5 см.

Задача12*. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях м им. Найти траекторию движения точки.

Ответ: . Это окружность радиусом 2 м.

Задача 13. За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания.

Ответ:  = 0,0023 с^-1.

Задача 14*. Уравнение затухающих колебаний дано в виде м. Найти скорость колеблющейся точки в момент времени: 0,Т, 2 Т, 3 Т, 4 Т.

Ответ: = 7,85;= 2,88;= 1,06;= 0,39;= 0,14.

Задача 15*. Математический маятник длиной 24,7 см совершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Логарифмический декремент затухания: 1)  = 0,01; 2)  = 1.

Ответ: = 120 с;= 1,22 с.

Задача 16*. Математический маятник длиной 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на 5 см, а при втором (в ту же сторону) на 4 см. Найти время релаксации.

Ответ:  = 6,4 с.

Задача 17. Амплитуда колебания математического маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания. Сколько полных колебаний сделает при этом маятник?

Ответ:  = 0,0023, N = 301.

Задача 18. За время 16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в пять раз. Найти коэффициент затухания и время релаксации.

Ответ:  = 0,1 с^-1,  = 10 с.

Задача 19*. Тело массой 10 г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой 7 см и коэффициентом затухания 1,6 с^-1. Начальная фаза равна нулю. На тело подействовала внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания, уравнение которых см. Найти: 1) уравнение собственных колебаний, 2) уравнение внешней периодической силы.

Ответ: см;Н.

Задача 20. Материальная точка массой 0,01 кг совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом 2 с и начальной фазой, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки Дж. Найти: 1) амплитуду колебаний; 2) наибольшее значение силы, действующей на точку; 3) написать уравнение колебаний.

Ответ: А = 0,045 м, F = 4,44Н,м.

Задача 21. Материальная точка массой т = 5 г совершает гармонические колебания с частотой  = 0,5 с^-1. Амплитуда колебаний А = 3 см. Найти: 1) скорость точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу, действующую на точку; 3) полную энергию колеблющейся точки.

Ответ: V = 8,2 ^.10^-2 ,F = 1,49 ^.10^-3 Н, W = 2,2 ^.10^-5 Дж.

Задача 22. Точка колеблется гармонически. Амплитуда колебаний А = 5 см, циклическая частота = 2 с^-1, начальная фаза . Определить ускорение точки в момент, когда ее скоростьV = 8 .

Ответ: а = 0,12 .

Задача 23. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Наибольшее смещение точки 10 см, наибольшая скорость 20 . Написать уравнение колебаний и найти максимальное ускорение точки.

Ответ: х = 0,1 sin 2 t м; а = 0,4 .

Задача 24. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки х = 5 см, скорость V = 0,2 и ускорениеа = 0,8 . Начальная фаза колебаний. Найти: 1) амплитуду; 2) циклическую частоту; 3) период колебаний; 4) фазу колебаний в рассматриваемый момент времени.

Ответ: А = 0,07 м; = 4 с^-1; Т = 1,57 с; рад.

Задача 25. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки х = 5 см. При увеличении фазы в два раза смещение точки стало = 8 см. Найти амплитуду колебаний.

Ответ: А = 8,3 см.

Задача 26. Материальная точка массой т = 0,05 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид (м). Найти силу, действующую на точку: 1) в момент, когда фаза колебаний = 30⁰; 2) в положении наибольшего отклонения точки.

Ответ: Н;0,125 Н.

Задача 27. Материальная точка массой т = 0,1 г колеблется согласно уравнению м. Определить максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии точки.

Ответ: Н,Дж.

Задача 28. Материальная точка массой т = 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид см. Найти возвращающую силу в моментt = 0,1 с и полную энергию точки.

Ответ: F = 0,747 Н, W = 0,125 Дж.

Задача 29. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид см. В момент, когда на точку действовала возвращающая силаН, точка обладала потенциальной энергиейДж. Найти этот момент времениt и соответствующую ему фазу колебания .

Ответ: t = 0,463 с,  = 0,927 рад.

Задача 30. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

Ответ: = 15 мин.

Задача 31. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника  = 0,003. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

Ответ: N = 231.

Задача 32*. Гиря массой т = 0,5 кг подвешена к пружине жесткостью k = 20 и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания = 0,004. Сколько колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза? За какое время t произойдет это уменьшение?

Ответ: N = 173, t = 172 с.

Задача 33. Тело массой т = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления.

Ответ: r = 9,16.

Задача 34. Материальная точка колеблется согласно уравнению , гдеА = 5 см и  = с^-1. Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия П точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу t.

Ответ: 1) t = 4 c; 2) t = рад.

Задача 35. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону , м. Определите полную энергиюЕ этой точки.

Ответ: Е = 15,8 мДж.

Задача 36. Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила F_max, действующая на точку, равна -0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период Т колебаний равен 4 с, а начальная фаза .

Ответ: , м.

Задача 37. Определите отношение кинетической энергии Т точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебаний.

Ответ: .

Задача 38. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 8 см. Определите жесткость k пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия T_max груза составляет 0,8 Дж.

Ответ: k = 250 .

Задача 39. Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами А₁ = 4 см и А₂ = 8 см имеют разность фаз  = 45. Определите амплитуду результирующего колебания.

Ответ: А = 11,2 см.

Задача 40. Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60, равна А = 6 см. Определите амплитуду А₂ второго колебания, если А₁ = 5 см.

Ответ: А₂ = 1,65 см.

Задача 41. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = = 5 см составляет . Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

Ответ: , см.

Задача 42. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями , см и, см. Определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.

Ответ: 1) А = 5,54 см; 2)  = ; 3), см.

Задача 43. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями и, гдеА, В и  - положительные постоянные. Определите уравнение траектории точки, вычертите ее с нанесением масштаба, указав направление ее движения по этой траектории.

Ответ: , по часовой стрелке.

Задача 44. Амплитуда затухающих колебаний маятника за t = 2 мин уменьшилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания .

Ответ:  = 5,7810^-3 с^-1.

Задача 45. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.

Ответ: .