- •Литература
- •Контрольные вопросы для подготовки к занятию
- •Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •Добротность
- •Примеры решения задач
- •Д Решение Смещение материальной точки при гармонических колебаниях с-1. Ано:
- •Дано:Решение
- •Дано:Решение Смещение материальной точки при гармоническом колебании м
- •Дано: Решение
- •Дано:Решение
- •Для математического маятника
- •Подставив формулы (2) и (3) в (1), получим
- •Задачи для самостоятельного решения
Добротность
где N число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
Чтобы в реальном осцилляторе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора F (t), изменяющегося по гармоническому закону .
Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний
(23.23)
где - внешняя вынуждающая сила.
Решением этого уравнения является выражение
, (23.24)
где А – амплитуда вынужденных колебаний; разность фаз смещения и внешний вынуждающей силы.
(23.25)
. (23.26)
Формулы для резонансной амплитуды
(23.27)
и частоты
. (23.28)
Примеры решения задач
Задача 1. Уравнение гармонических колебаний материальной точки м. Определить амплитуду, период и начальную фазу. Построить векторную диаграмму.
Дано:Решение
Запишем
уравнение гармонического колебания в
общем виде
и сравним его с данным уравнением
,
гдех
–
А - ? Т - ? - ?
смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А амплитуда колебаний; циклическая частота; начальная фаза.
При сравнении находим А = 0,08 м; ; .
Период колебаний с.
Векторная диаграмма имеет вид (рис.23.4).
Ответ: А = 0,08 м; Т = 2 с; = 0,2.
Задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение смещения колеблющейся точки. Определить фазу колебаний для двух моментов времени: 1) когда смещение точки = 6 см; 2) когда скорость точкиV = 10 .
Д Решение Смещение материальной точки при гармонических колебаниях с-1. Ано:
А = 10 см = 0,1 м
Т = 2 с
cм = 0,06 м
V = 10 = 0,1
х ? ? ?
Используя условие задачи, получим
м. (1)
1) Зная смещение , запишем уравнение в виде, где- фаза колебаний в данный момент времени.
Тогда и(рад).
2) Скорость материальной точки
.
Используя условие задачи, получим
,
откуда
sinирад.
Ответ: м;рад;рад.
Задача 3. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, уравнение смещения которых имеет вид м. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.
Дано:Решение
т
Максимальную
силу, действующую на материальную
точку, можно найти двумя способами:
1)
По второму закону Ньютона F
= т а,
тогда
;
(1)
м
? W ?
.
Ускорение максимально при , тогда, подставляя в формулу (1) получаемН.
2) Сила, вызывающая колебания точки по закону Гука F = k x, тогда максимальная сила , гдеА амплитуда колебаний.
Дифференциальное уравнение гармонического колебания:
,
где , откуда.
Решение дифференциального уравнения: . Сравнивая с данным в задаче уравнением, находимc-1.
Тогда
Н.
Полная энергия колеблющейся точки равна сумме кинетической и потенциальной энергии и является постоянной величиной:
Дж.
Ответ: Н;Дж.
Задача 4. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: см исм. Написать уравнение результирующего колебания. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд.