- •Литература
- •Контрольные вопросы для подготовки к занятию
- •Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •Добротность
- •Примеры решения задач
- •Д Решение Смещение материальной точки при гармонических колебаниях с-1. Ано:
- •Дано:Решение
- •Дано:Решение Смещение материальной точки при гармоническом колебании м
- •Дано: Решение
- •Дано:Решение
- •Для математического маятника
- •Подставив формулы (2) и (3) в (1), получим
- •Задачи для самостоятельного решения
Дано:Решение Смещение материальной точки при гармоническом колебании м
м
А ?
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду: м им. Из сравнения уравнений находим для первого колебания: амплитуда= 0,01 м, начальная фазарад = 300; для второго колебания: = 0,02 м,рад = 900. Частота колебаний одинакова, следовательно, и циклическая частота результирующего колебания тоже равна . Для определения амплитуды результирующего колебания построим векторные диаграммы колебаний.
По теореме косинусов:
;
м.
Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим из рис. 23.5.
;
= 2,88.
Откуда начальная фаза рад.
Уравнение смещения результирующего колебания
м.
Ответ: А = 0,026 м; рад.
Задача 5. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
. Найти коэффициент затухания, циклическую частоту, период, время релаксации, логарифмический декремент затухания.
Дано:Решение
Приведем данное уравнение к стандартному
? ? Т ? виду, и сравним с заданным уравнением
? ?
и .
Из сравнения находим: = 0,25 с-1; ,= 4.
Частота затухающих колебаний
с-1 4 с-1; .
Период затухающих колебаний можно считать равным периоду собственных колебаний
с.
Логарифмический декремент затухания .
Время релаксации
с.
Ответ: = 0,25 с-1; = 3,99 с-1; Т = 1,57 с; = 4 с; = 0,4.
Задача 6. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания = 1,6, начальная фаза рад. Смещение колеблющейся точки в момент времени = 1 с равно = 4,5 см. Написать уравнение смещения в тригонометрическом виде.
Дано: Решение
Т
Уравнение смещения
затухающих колебаний в тригонометрическом
виде
.
Неизвестны
коэффициент затухания
и амплитуда
.
= 1,6
рад
t = 1 с
= 4,5 см = 0,045 м
x(t) ?
Коэффициент затухания находим через логарифмический декремент затухания = Т, откуда ; с-1.
Циклическая частота колебаний связана с периодом зависимостью ; .
Для нахождения максимальной амплитуды запишем уравнение смещения в момент времени , используя найденные значения величин. Получаем
откуда
м.
Ответ: уравнение смещения имеет вид м.
Задача 7. Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника длиной l = 1 м, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза?
Дано:Решение
Логарифмический декремент затухания
l = 1 м , (1)
где
коэффициент затухания, Т
– период колебаний.
?
Для математического маятника
, (2)
где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.
Амплитуда затухающих колебаний с течением времени изменяется по закону . Тогда.
Откуда
ln ; так как= 2, то
ln 2 = β t1 ; . (3)