- •Литература
- •Контрольные вопросы для подготовки к занятию
- •Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •Добротность
- •Примеры решения задач
- •Д Решение Смещение материальной точки при гармонических колебаниях с-1. Ано:
- •Дано:Решение
- •Дано:Решение Смещение материальной точки при гармоническом колебании м
- •Дано: Решение
- •Дано:Решение
- •Для математического маятника
- •Подставив формулы (2) и (3) в (1), получим
- •Задачи для самостоятельного решения
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
. (23.9)
Корнями решения этого уравнения являются выражения (23.1).
Рассмотрим колебания пружинного маятника. Состояние равновесия будем рассматривать как исходное положение пружинного маятника, а все дальнейшие смещения его оценивать координатой х, отсчитываемой от положения равновесия рис.23.1. Предположим, что никакие внешние силы колебаниям маятника не предшествуют. В этом случае на маятник, смещенный из положения равновесия, действует восстанавливающая сила F = k x. Согласно 2-му закону Ньютона
F = m a,
где ускорение маятника.
Но F = k x, следовательно или.
Обозначим , тогда дифференциальное уравнение гармонического колебания примет вид
, (23.10)
а смещение из положения равновесия выразится, например, уравнением
. (23.11)
Скорость и ускорение материальной точки выразятся уравнениями (23.12) и (23.13):
; (23.12)
. (23.13)
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, равна
. (23.14)
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием квазиупругой силы, равна
. (23.15)
Сложив и, получим формулу полной энергии:
.
Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки 0, выбранной на оси х, под углом , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор, модуль которого равен амплитудеА рассматриваемого колебания (рис. 23.2). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью , то проекция конца векторабудет перемещаться по осих и принимать значения от А до А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону
.
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания нужно сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:
;
,
воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 23.3).
Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания задаются соотношениями
; (23.16)
. (23.17)
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:
. (23.18)
Если начальные фазы искладываемых колебаний одинаковы, то уравнение (23.18) примет вид
. (23.19)
Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны соответствующим амплитудам.
Если , то эллипс (23.19) вырождается в окружность.
Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы. Свободные колебания реальных систем всегда затухают.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид
, (23.20)
где f – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс; - коэффициент затухания; - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы.
Решение уравнения (23.20) в случае малых затуханий :
, (23.21)
где амплитуда затухающих колебаний, а начальная амплитуда.
Для пружинного маятника массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F = k x, коэффициент затухания
,
где r – коэффициент сопротивления.
Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится ве = 2,71 раз, называется временем релаксации.
Период затухающих колебаний
. (23.22)
Если и амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его логарифм
логарифмическим декрементом затухания.