Вказівки до лаб_2010

Неважко переконатись у тому, що сума всіх інтервальних частот у побу-

копичені відносні частоти. Зауважимо, що емпірична функція розподілу — завжди неспадна.

Гістограма частот — це східчаста фігура, складена з прямокутників,

площа гістограми частот дорівнює об’єму вибірки.

Побудова гістограми при аналізі статистичних даних відіграє дуже велику роль, оскільки за зовнішнім виглядом гістограми можна робити висновок про закон розподілу ознаки генеральної сукупності. На рис. 27 а-в зображено типові приклади гістограм залежно від гіпотетичного закону розподілу та графіки відповідних емпіричних функцій розподілу.

Рис. 27. Типові приклади гістограм залежно від виду розподілу

Нагадаємо, що випадкова величина ξ називається нормально розподіле-

ною з параметрами a та σ , якщо її густина розподілу може бути записана у вигляді

31

При a = 0 та σ = 1 нормальний розподіл перетворюється на стандартний нормальний розподіл. Для стандартного нормального розподілу

x2

fξ (x) = 1π ×e − 2 = ϕ (x) — функція Гаусса,

2

де F(x) — функція Лапласа.

Для випадкової величини ξ , яка має нормальний закон розподілу з пара-

метрами a та σ , математичне сподівання Mξ = a , дисперсія Dξ = σ 2 .

Моду та медіану для неперервної вибірки обчислюють наступним чином. Якщо неперервна вибірка задається таблицею інтервальних частот з рів-

новеликими інтервалами довжини z , то її мода визначається за формулою

Mo = zi−1 + Dz × 2ni - ni−1 - ni+1

де zi−1 — нижня межа модального інтервалу (того, що містить максимальну кі-

лькість елементів), ni — число елементів вибірки в цьому інтервалі (модальна частота), ni−1 , ni+1 — число елементів вибірки в сусідніх до модального інтерва-

лах (передмодальному та післямодальному інтервалах відповідно).

Медіаною вибірки (позначатимемо її Me ) називається таке значення x , в

якому емпірична функція розподілу набуває значення 0,5: Fξ* (Me) = 0,5 . У ви-

падку, коли вибірка — неперервна і задана таблицею інтервальних частот з рівновеликими інтервалами довжини z , то медіану цієї вибірки можна обчислити за формулою

Me = zi−1 + Dz × n2 - (n1 + n2 +K+ ni−1 ) , ni

де zi−1 — нижня межа медіанного інтервалу (інтервал, для якого накопичена ча-

стота дорівнює півсумі всіх частот або вперше перевищить її), ni — число еле-

ментів вибірки, які потрапили в цей інтервал, (n1 + n2 +K+ ni−1 ) — сумарне чи-

сло елементів вибірки в інтервалах, які лежать зліва від медіанного.

32

Гістограма частот і графік емпіричної функції розподілу

Рис. 35. Гістограма частот і графік емпіричної функції розподілу.

Крок 8. Обчислити моду та медіану вибірки.

Матимемо: модальний інтервал: (8,76; 9,96], модальна частота ni = 8 ; крім того, ni−1 = 7 , ni+1 = 5 . Тоді:

Медіанний інтервал — також (8,76; 9,96], n = 30 — об’єм вибірки. Тоді:

Me = 8,76 +1,2 × 302 - (1+ 6 + 7) = 8,91. 8

Отже, для половини клієнтів банківської установи час обслуговування менший за 8,91 хв., а для іншої половини — більший, ніж 8,91 хв.

Висновок.

У даній лабораторній роботі ми досліджували вибірку з 30 елементів, кожен з яких — це час обслуговування (у хв.) клієнтів у банківській установі.

Так, для першого клієнта час обслуговування становить 8,61 хв., для другого — 7,86 хв., для третього — 12,36 хв. і т.д.

Проведені дослідження показують, що найменший час обслуговування клієнтів — 5,16 хв., а найбільший — 12,36 хв.

Ми побудували таблицю інтервальних частот, розбивши діапазон елементів вибірки на 6 інтервалів (кількість інтервалів знайдено за формулою Стерджеса, довжина кожного інтервалу z =1,2 хв.). Із цієї таблиці видно, що в бан-

38

ківській установі лише для одного клієнта час обслуговування — від 5,16 хв. до 6,36 хв. включно; для 6 клієнтів — від 6,36 хв. до 7,56 хв. включно і т.д.

Неважко помітити , що в таблиці інтервальні частоти спочатку поступово збільшуються, потім — поступово зменшуються, що свідчить про наближення розподілу в генеральній сукупності до нормального. Побудована гістограма також підтверджує той факт, що ознака генеральної сукупності має приблизно нормальний закон розподілу.

Обчислено моду і медіану. Значення медіани 8,91 показує, що для половини клієнтів банківської установи час обслуговування менший за 8,91 хв., а для іншої половини — більший, ніж 8,91 хв.

Лабораторна робота № 4

Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу

Основні поняття

Нехай ξ — ознака генеральної сукупності; x1 , x2 , ..., xn — задана вибір-

ка. Як відомо, кожна випадкова величина має свій закон розподілу, який у більшості випадків залежить від певних параметрів, наприклад: нормальний закон розподілу повністю визначається двома параметрами — a та σ , показниковий або пуассонівський — одним параметром λ , рівномірний — параметрами a та b (ліва та права межі інтервалу) і т. д. У випадку дослідження вибірки параметри гіпотетичного розподілу генеральної сукупності залишаються невідомими, тому перед нами постає завдання оцінити ці параметри, тобто знайти їх наближені значення.

Завдяки вибірковому методу можна знайти наближені значення невідомих параметрів при виконанні ряду умов.

Точковою оцінкою θ* невідомого параметра θ називається будь-яка фун-

кція f (x1, x2 ,K, xn ) елементів вибірки.

39

На практиці серед точкових оцінок невідомого параметра θ намагаються вибрати лише такі, що задовольняють умови незміщеності, змістовності та ефективності.

Точкова оцінка θ* називається незміщеною точковою оцінкою параме-

тра θ, якщо M (θ* ) = θ, тобто математичне сподівання θ* дорівнює оцінювано-

му параметру θ незалежно від об’єму вибірки.

Змістовною (обґрунтованою) називають точкову оцінку θ* , дисперсія якої при необмеженому зростанні об’єму вибірки (n → ∞) прямує за ймовірніс-

тю до нуля: P{Dθ = 0} →1 при n → ∞ .

Ефективною називають точкову оцінку θ* , яка при заданому об’ємі вибірки має найменшу можливу дисперсію у класі незміщених лінійних оцінок параметра θ.

Оскільки основними числовими характеристиками випадкової величини ξ є математичне сподівання Mξ та дисперсія Dξ , і вони у переважній більшо-

сті випадків виражаються через невідомі параметри розподілу, то проблеми знаходження точкових оцінок для невідомих параметрів розподілу і точкових оцінок для математичного сподівання і дисперсії тісно пов’язані між собою.

Розглянемо основні числові характеристики вибірки.

1.Вибіркове середнє x є точковою оцінкою для математичного сподівання генеральної сукупності: x ≈ Mξ . У випадку, коли ознака ξ має нормальний закон розподілу, то вибіркове середнє є незміщеною, змістовною і навіть ефективною точковою оцінкою математичного сподівання.

2.Вибіркова дисперсія D — змістовна, але зміщена, точкова оцінка дисперсії

генеральної сукупності.

%

3. Виправлена вибіркова дисперсія D — змістовна і незміщена точкова оцін-

% ≈ ξ

ка дисперсії генеральної сукупності: D D .

4.Вибіркове середньоквадратичне відхилення σ .

5.Виправлене вибіркове середньоквадратичне відхилення σ%.

40