1 Вычислить: .
2 Представить дробь в виде суммы простейших дробей.
3 Упростить выражение .
4 Найти значение выражения , выполнив подстановку:,.
5 Решить уравнение .
6 Решить уравнение относительно переменной х.
7 Найти приближенное решение уравнения .
8 Решить системы уравнений:
а) б)
9 Для матрицы А найти определитель и обратную матрицу. Вычислить
произведение матриц АА-1, АВ и СА. Результат представить в матричной форме.
, ,.
10 Решить систему уравнений матричным методом и выполнить проверку:
Вариант 2
1 Вычислить: .
2 Представить дробь в виде суммы простейших дробей.
3 Упростить выражение .
4 Найти значение выражения , выполнив подстановку:,.
5 Решить уравнение .
6 Решить уравнение относительно переменной х.
7 Найти приближенное решение уравнения .
8 Решить системы уравнений:
а) б) .
9 Для матрицы А найти определитель и обратную матрицу. Вычислить
произведение матриц АА-1, АВ и СА. Результат представить в матричной форме.
, ,.
10 Решить систему уравнений матричным методом и выполнить проверку:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Цель работы: Научиться с помощью программы Mathematica находить пределы функций, производные, интегралы, решать дифференциальные уравнения, представлять результат в аналитическом и численном видах.
Краткие теоретические сведения
Для выполнения основных операций математического анализа в программе Mathematica предусмотрен набор команд, как с помощью клавиатуры, так и помощью палитр BasicInput и BasicCalculations. В таблицах 3-7 рассмотрены примеры реализации наиболее часто используемых действий, верхняя строка примеров представляет собой команду ввода, нижняя – вывода.
Таблица 3 – Нахождение пределов
Действие |
Реализация |
Нахождение пределов | |
Нахождение предела |
0 |
Нахождение односторонних пределов | |
Нахождение предела слева |
|
Нахождение предела справа |
- |
Таблица 4. Нахождение сумм рядов
Набор с помощью клавиатуры |
Набор с помощью палитры |
Нахождение сумм рядов | |
|
|
Вычисление суммы в численном виде | |
0.644934 |
0.644934 |
Замечание 1. Набор с помощью шаблонов палитр упрощает и ускоряет набор команд, а также уменьшает количество ошибок при наборе, так как шаблоны функций соответствуют общепринятым в математике обозначениям.
Замечание 2. Если программа Mathematica получит результат о расходимости ряда, то перед строкой вывода появится замечание: Sum does not converge, а строка вывода повторит запись исходного ряда.
Замечание 3. Если программа Mathematica не может вычислить аналитически, к чему именно сходится заданный ряд, но «считает», что он сходится, то строка вывода повторит запись исходного ряда. В этом случае можно рекомендовать получить результат численно.
Пример. С вычислением аналитически, к чему именно сходится ряд вида , программа Mathematica не «справилась», но «считает», что он сходится (замечание «Sum does not converge» не появилось). Строка вывода повторяет запись исходного ряда, численно был получен следующий результат:
1.58462+0.
Таблица 5 – Дифференцирование
Набор с помощью клавиатуры |
Набор с помощью палитры |
Нахождение производной | |
D[Sin[x],x] Cos[x] |
Cos[x] |
Нахождение производной высших порядков | |
24 x |
24 x |
Нахождение смешанной производной | |
|
|
Нахождение полного дифференциала | |
|
|
Замечание 4. Даже если задана функция от одной переменной, в команде нахождения производной необходимо указать переменную дифференцирования.
Таблица 6 – Интегрирование
Набор с помощью клавиатуры |
Набор с помощью палитры |
Нахождение неопределенного интеграла | |
Integrate[Sin[x],x] -Cos[x] |
Sin[x]x -Cos[x] |
Вычисление определенного интеграла | |
3
|
3 |
Вычисление повторного интеграла | |
-4 |
-4 |
Численное интегрирование | |
0.904524 |
0.904524 |
Замечание 5. Если программа Mathematica не может вычислить опреде-ленный интеграл аналитически, то строка вывода повторяет запись исходного интеграла. В этом случае можно рекомендовать получить результат численно.
Таблица 7 – Решение дифференциальных уравнений и систем уравнений
Аналитическое решение дифференциальных уравнений |
|
Решение дифференциальных уравнений с начальными условиями |
|
DSolve[{y''[x]+ 2y'[x]-3y[x]0,y[0]2,y'[0]1},y[x],x] |
Решение систем дифференциальных уравнений |
DSolve[{z'[x]z[x]-3y[x],y'[x]3z[x]+y[x]},{y[x],z[x]},x] |
Решение систем дифференциальных уравнений с начальными условиями |
DSolve[{z'[x]z[x]-3y[x],y'[x]3 z[x]+y[x],y[0]0,z[0]1}, {y[x],z[x]},x]
|
Замечание 6. При вводе функции DSolve следует обратить внимание на то, что и дифференциальные уравнения, и начальные условия записываются с двумя знаками равенства.
Замечание 7. При решении дифференциальных уравнений программа Mathematica часто выводит результат в очень громоздкой форме, которую можно значительно упростить, используя функцию Simplify. При этом сам результат можно не вносить в эту функцию как аргумент, а воспользоваться знаком %, т.е. Simplify[%]. Знак % означает ссылку на результат предыдущей по номеру строки.
Пример
DSolve[y''[x]+2y'[x]+10y[x]3Cos[x]+Sin[x],y[x],x]
Simplify[%]
Замечание 8. Часто решение дифференциальных уравнений можно получить только в неявном виде, то есть решение, в котором функцию y невозможно выразить с помощью функции от x . Это может быть даже простое уравнение с разделяющимися переменными. Если при этом решение можно получить в явном виде относительно x, то имеет смысл в функции DSolve задать x как функции от y. Тогда программа Mathematica, возможно, «справится» с этим дифференциальным уравнением.
Пример
Относительно функции y программа Mathematica не может решить следующее дифференциальное уравнение:
А относительно функции x программа Mathematica выдает следующий результат:
{{x[y]Log[C[1]+Log[y]+Sin[y]]}}
Замечание 9. Следует помнить, что константы С[1], C[2] и т.д. в программе Mathematica могут быть выражены не таким же образом, как при решении пользователем.
Содержание отчета
1 Название работы.
2 Цель работы.
3 Исходная постановка задачи.
4 Решение.
5 Выводы по результатам проделанной работы.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
1 Найти предел функции .
2 Найти производную функции .