1.3. Пустое множество

Пустое множество – множество, которое не содержит ни одного элемента (обозначается символом ). Пустое множество можно определить любым противоречивым свойством, например= {х | xх}, в области множеств оно играет как бы роль нуля. Многие математические (и не только математические) проблемы можно сформулировать как задачи о пустоте некоторых множеств.

1.4. Парадокс рассела

Задание множеств характеристическим предикатом может привести к противоречиям. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: Y={X | X X}. Если такое множество существует, то можно ответить на следующий вопрос: принадлежит ли оно само себе. С одной стороны, если Y Y, то Y Y. С другой стороны, если Y Y, то Y Y. Получается неустранимое логическое противоречие, известное как парадокс Рассела. Это противоречие можно разрешить различными способами, в целом сводящимися к тому, что Y не является множеством.

1.5. Подмножества и их свойства

Подмножество – это любая часть основного множества U. При этом элементы его подмножества A обладают некоторым дополнительным свойством P_а(х). Этот факт можно записать так: А = { xxU и P_а(х)} («А – это по определению множество всех тех и только тех х, которые принадлежат U и обладают свойством P_а»). Если, например, U – множество людей, а P_а – быть учащимся высшего учебного заведения, то А – множество студентов.

Если свойство, задающее некоторое подмножество, противоречит свойству, по которому задаётся само основное множество, то данное подмножество будет пустым , то есть не содержащим ни единого элемента.

Полная и пустая части всякого множества образуют его несобственные подмножества. Все остальные подмножества данного множества являются собственными.

Отношение между множеством M и любым его подмножеством A называется включением и обозначается символом :AM.

Отметим следующие свойства подмножеств, прямо вытекающих из определения.

а) Отношение включения любого собственного подмножества A (т.е. отличного от M) в множество M, называется собственным и обозначается :AM.

Выражение А  M (читается «А включено в M») означает, что множество А есть подмножеством множества M. При этом все элементы, принадлежащие А, будут также принадлежать и M. Однако в множестве M могут найтись элементы, не принадлежащие А. В этом случае множество А – собственное подмножество множества M, а M, в свою очередь, называется надмножеством. Можно также рассматривать и выражение M  А, которое читается «M включает в себя А».

Равными считаются множества A и B, состоящие качественно из одних и тех же элементов. Факт равенства множеств записывается так: А = B, неравенства А  B.

Выражение А  M обозначает включение в широком смысле, то есть А есть подмножеством M. При этом не исключено, что А = M. Можно также рассматривать и выражение M  А.

Два множества А и В равны тогда и только тогда, когда А  В, а В  А.

Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множестваM (пустой его частью).

Каждое непустое множество М является подмножеством самого себя: ММ (Если свойства, которыми заданы некоторое множество и его подмножество, совпадают (одни и те же), то эти множества будут равны. Поэтому и считается, что множество является частью самого себя).

б) Отношение включения транзитивно, т. е. из AB и BC следует, что AC. Транзитивно также отношение собственного включения, т. е. из AB и BC следует, что AC.

в) Очень важно не смешивать отношения принадлежности (элемента) и включения(подмножества): если подмножество {а}М, то элемент аМ, и наоборот; но из {a}М не следует {а}М (т.е. из того, что подмножество {a} включено в М, не следует, что элементом множества М будет множество {a}). Так, например, если М = {1, 2, {3, 4}}, то это означает, что 1М и 2М, {3, 4}M; но из {1, 2}M не следует, что элементом множества М будет множество {1,2}.

Отметим, что для рассмотренного множества M правильны следующие утверждения включения:

М, {1}М, {2}М, {{3, 4}}М, {1, 2}М, {1, {3, 4}}М,{ 2, {3, 4}}М, {1, 2, {3, 4}}М.

Другой пример. Пустое множество не имеет элементов хдля любого объекта х. Между темсодержит одно подмножество, а именно само себя.

г) Если известно число элементов данного множества, то общее число подмножеств будет , гдеn – число элементов. Из пустого подмножества можно образовать только одно подмножество – само пустое множество (при n=0, )

Задача 1.5. Дано универсальное множество U = {1,2,3,…20} – натуральные числа от 1 до 20. Найти следующие подмножества:

1. множество простых чисел;

2. множество делителей числа 20;

3. множество чисел, делящихся на 6;

4. множество квадратов чисел;

5. множество разностей предыдущего и последующего элементов универсума.

Решение.

1. множество простых чисел: А = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Очевидно, что А  U;

2. множество делителей числа 20: В = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Здесь также В  U;

3. множество чисел, делящихся на 6: С = {6, 12, 18}, C  U;

4. множество квадратов чисел: D = {1, 4, 9, 16}. По условию задачи D  U, и мы должны рассмотреть лишь множество тех квадратов чисел, которые не выйдут за пределы универсума;

5. множество Е = {x1- x2; x2- x3; …x19- x20}. Совершенно очевидно, что полученное множество не есть подмножеством данного универсума. Иными словами, предикат, по которому оно формируется, противоречит предикату универсума. Таким образом Е  V, хотя по условию Е  V. Значит Е = .

Задача 1.6. Среди следующих множеств указать равные: А = {3, 5, x, y}; B = {3, 2, 5, x, y}; C = {y, y, 5, 3, x, x}; D = {3, 4, 5, x, y}.

Решение. A = C, поскольку качественно оба множества состоят из элементов 3, 5, x и y. Количество элементов множества А равно 4. Множество В, на первый взгляд, содержит больше элементов. Однако среди них есть повторяющиеся: 2 раза х и столько же у. Для множества же неважно, сколько раз повторяется один и тот же элемент, важно лишь, чтобы элементы отличались друг от друга. Что же касается множеств B и D, то они не равны, так как содержат разные элементы. Можно лишь утверждать, что А  В, А  D, C  B и C  D.

Задача 1.7. Будут ли равны между собой множества А и В и, если нет, то почему?

1. A = {1, (2, 5), 6} , B = {1, 2, 5, 6};

2. A = {1, {2, 5}, 6} , B = {1, {5, 2}, 6};

3. A = {1, {2, 7}, 6} , B = {1, (2, 7), 6};

4. A = , B = {};

5. A = {0}, B = {}.

Решение.

1. A  B. Разберём, почему. Множество В состоит из элементов 1, 2, 5 и 6. В отличие от А, элементами которого являются 1, 6 и упорядоченная пара чисел (2, 5). Элементы обоих множеств качественно различны. Поэтому эти множества и не равны.

2. А = В. Элементами множества А являются числа 1 и 6, а также подмножество {2, 5}. Множество В также состоит из элементов 1 и 6, а также подмножества {5, 2}. Очевидно, что подмножества {2, 5} и {5, 2} равны. Следовательно множества А и В состоят из одних и тех же элементов. Значит, они равны.

3. A  B. Оба множества имеют одинаковые элементы 1 и 6. Однако элементом А является подмножество {2, 7}, а элементом В есть упорядоченная пара чисел (2, 7). Понятно, что это качественно различные элементы. Следовательно, множества не равны.

4. A  B. Множество А – это пустое множество, не содержащее ни одного элемента. В состав же множества В входит один элемент, которым является пустое множество.

5. A  B. Множество А имеет один элемент – это число 0. Множество В также состоит из одного элемента, которым является множество, в данном случае пустое. Это качественно разные элементы.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Записать следующие утверждения, используя символы теории множеств:

1. множество S есть подмножество Т;

2. х принадлежит множеству Р;

3. множество Y не является подмножеством множества Х;

4. z не принадлежит множеству Z.

2. Заданы четыре множества: А = {1, 3, 5, 7}; B = {3, 5}; C = {2}; D = {5, 7, 9}. Какие из следующих утверждений являются истинными, а какие ложными?

1. В  А (ответ: верно);

2.   D (ответ: неверно, хотя пустое множество и включено в D, но не в качестве его элемента, а в качестве подмножества);

3. С  В (ответ: неверно);

4. В  D (ответ: неверно);

5. В  А (ответ: неверно, хотя В и включено в А, но как подмножество, а не как элемент);

6. С  В (ответ: верно).