4.6. Типы (свойства) бинарных соответствий

Пусть задано некоторое соответствие G  АВ = {(a, b)aA, bB, (a, b)G}.

Соответствие называется всюду определённым (или полностью определённым), если его область определения совпадает со всем множеством А: Dom(G) = А. Иными словами каждый элемент множества А участвует в парах (а,b)G, и при этом для каждого аА найдётся хотя бы один образ из множества В. Сечение по всякому элементу аА не будет пустым.

В противном случае соответствие называют частично определённым (или просто частичным).

Соответствие G называется сюръективным, если его множество значений совпадает со всем множеством B : Im(G) = B. Иными словами, каждый элемент bB участвует в парах (а,b)G, как минимум, один раз. То есть для каждого элемента bB найдется хотя бы один прообраз из множества А. Говорят, что при сюръективном соответствии покрывается всё множество В.

Соответствие G называется функциональным (или однозначным), если каждому элементу множества А соответствует не более одного элемента из множества В. Пары (a, b) такого соответствия не содержат одинаковых первых координат и различных вторых. Каждый элемент аА имеет не более одного образа bB.

Среди функциональных также различают полностью определённые и частично определенные соответствия, равно как и сюръективные и не сюръективные.

Рис. 4.11

Функциональное соответствие Не функциональное соответствие

Соответствие G называется инъективным, если любой элемент bВ имеет не более одного прообраза. Пары такого соответствия (a, b) не содержат одинаковых вторых и разных первых координат. При этом каждый элемент аА имеет не более одного образа.

Соответствие G называется биективным (или взаимно однозначным), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно. В этом случае каждому элементу аА ставится в соответствие один и только один элемент bВ. В парах (a, b) нет двух одинаковых первых элементов, вторых также.

Соответствие G называется отображением множества А в множество В (или просто А в В), если оно является всюду определенным и функциональным.

Соответствие G называется отображением множества А на множество В (или просто А на В), если оно является всюду определенным, функциональным и сюръективным.

Задача 4.6.1. На множествах А = {a,b,c,d,e} и В = {1,2,3} задано соответствие G={(a,2), (b,3), (c,1), (d,2), (e,1)}. К какому из основных типов (всюду определённое, сюръективное, функциональное, инъективное) оно относится. Для удобства представить G графически (стрелочное изображение).

Решение.

1. Соответствие является всюду определённым, так как пр₁G = A.

2. Соответствие является сюръективным, поскольку пр₂G = В.

3. Соответствие является функциональным, поскольку первые координаты пар не повторяются.

4. Соответствие является не инъективным, так как элементы 1В и 2В имеют больше одного прообраза.

5. Данное соответствие есть отображение А в В.

Задача 4.6.2. На множествах А = {a,b,c,d} и В = {1,2,3,4} задано соответствие G={(a,1), (b,2), (b,3), (d,4)}. К какому из основных типов (всюду определённое, сюръективное, функциональное, инъективное) оно относится. Для удобства представить G графически (стрелочное изображение).

Решение.

1. Соответствие является частично определённым, так как пр₁G ≠ A (элемент сА не встречается ни в одной паре).

2. Соответствие является сюръективным, поскольку пр₂G = В.

3. Соответствие не является функциональным, поскольку первые координаты пар повторяются (координата b).

4. Соответствие является инъективным, так как элементы из множества В имеют ровно по одному прообразу.

5. Данное соответствие не есть отображение, так как не является всюду определённым и функциональным.

Задача 4.6.3. Пусть A = R – множество действительных чисел, множество B = R⁺ - неотрицательных действительных чисел, G ={( x, y )xR, yR⁺, y = x² }. Найти тип этого соответствия.

Решение.

Из свойств функции y = x² вытекает, что рассматриваемое соответствие:

1. Всюду определено, так как для каждого xR найдется образ – значение y = x²  0.

2. Сюръективно, ибо для каждого y 0 найдется прообраз – значение .

3. Функционально, потому, что для каждого xR найдется только один образ – значение y = x²  0.

4. Не инъективно, так как для всякого yR⁺, y > 0 во множестве R существуют два прообраза – значения x₁ = y , x₂ = −y .

5. Не взаимно однозначно, поскольку не является инъективным.