Міністерство освіти і науки україни

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

Г.Г. ШВАЧИЧ, М.С. САЗОНОВА, Г.М. Бартенєв

ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА

РОЗДІЛ 1. ТЕОРІЯ МНОЖИН. АЛГЕБРА МНОЖИН

Дніпропетровськ НМетАУ 2015

УДК 543. 211/.205+543.4

Швачич Г.Г., Сазонова М.С., Бартенєв Г.М. Дискретна математика. Розділ 1. Теорія множин. Алгебра множин: навчальний посібник (російською мовою). − Дніпропетровськ: НМетАУ, 2015.  – 70 с.

Навчальний посібник містить доступно викладений теоретичний матеріал і рекомендації до виконання практичних робіт з дисципліни “Дискретна математика”(Розділ 1: теорія множин. Алгебра множин).

Наведено приклади розв’язування типових задач і варіанти завдань для індивідуального виконання.

Призначений для студентів напряму 6.050101 – комп’ютерні науки.

Іл. 45. Табл. 2. Бібліогр.: 9 найм.

Друкується за авторською редакцією.

Відповідальний за випуск Швачич Г.Г., зав. каф. ПМ та ОТ, д. т. н., проф.

Рецензенти:

Коряшкіна Л.С., завідувач кафедри обчислювальної математики та

математичної кібернетики Дніпропетровського національного 

університету імені Олеся Гончара,

к.ф.-м.н., доц.

Лебідь О.Ю., доцент кафедри вищої математики та інформатики Академії митної служби України, к.ф.-м.н., доц.

© Національна металургійна академія України, 2015

© Швачич Г.Г., Сазонова М.С.,

Бартенєв Г.М., 2015

Содержание

1. Множества

1.1. Множество и его элементы

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения (так же, как, например, нельзя определить, что такое точка или прямая).

Теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты он назвал элементами множества. Т.е. элемент множества – это объект, принадлежащий данному множеству.

Бертран Рассел (также основоположник теории множеств) дал такое определение множества: «Множество есть любое собрание определённых и различимых между собою объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое».

Под множеством понимается класс, совокупность, собрание различных между собой абстрактных объектов (элементов), безразлично какой природы. Каждый составляющий его элемент рассматривается лишь с точки зрения некоторых признаков. Эти объекты считаются неразличимыми. Им приписываются одни и те же признаки, отличие их друг от друга определяется не по свойствам и отношениям, а по их именам.

Множества обозначаются большими латинскими буквами (например, А, В, Х, Y и т.д.), а элементы этих множеств – малыми буквами (например, a, b, x, y).

Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным, если в нём бесконечно много элементов – бесконечным.

Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и её применимость в самых различных областях – математике, механике, физике, химии, биологии, лингвистике и т.д.

Знаком  обозначается отношение принадлежности некоторого элемента тому или иному множеству. Например, выражение означает, что элемента принадлежит множеству А. Если же а не является элементом множества А, то это записывается .

Если два множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Если А и В равны, то пишем А=В, в противном случае — . Например, возьмём множество {1,3,5}, состоящее из трёх положительных нечётных чисел. Поскольку {1,3,5} и{1,5,3} состоят из одних и тех же элементов, они являются равными множествами, т.е. {1,3,5}={1,5,3}. По этой же причине {1,3,5}={1,3,3,5,5,5}.

Элементы какого либо множества сами могут быть множествами. Например, {{1,2},{3,4},{5,6}} – множество из трёх элементов {1,2},{3,4},{5,6}.

Множества {{1,2},{2,3}} и {1,2,3} не равны, т.к. элементами первого являются {1,2} и {2,3}, а элементами второго — 1,2 и 3.

Множества {{1,2}} и {1,2} также не равны, т.к. поскольку первое множество состоит из одного и только одного элемента {1,2} (одноэлементное множество), а второе имеет два элемента 1 и 2. Потому, в общем виде, следует различать объект и множество, единственным элементом которого является этот объект.

Задача 1.1. Среди следующих множеств указать равные:

А = {3, 5, x, y}; B = {3, 2, 5, x, y}; C = {y, y, 5, 3, x, x}; D = {3, 4, 5, x, y}.

Решение. A = C, поскольку качественно оба множества состоят из элементов 3, 5, x и y. Количество элементов множества А равно 4. Множество В, на первый взгляд, содержит больше элементов. Однако среди них есть повторяющиеся: 2 раза х и столько же у. Для множества же неважно, сколько раз повторяется один и тот же элемент, важно лишь, чтобы элементы отличались друг от друга. Что же касается множеств B и D, то они не равны, так как содержат разные элементы.