2.1.9. Расчет по предельным состояниям второй группы.

1. Расчет по образованию трещин, нормальных к оси балки. В этом расчете следует проверить трещиностойкость балки при действии эксплуатационных нагрузок (при n> 1) и при отпуске натяжения арматуры.

Расчет при действии эксплуатационных нагрузок. Равнодействующая усилий обжатия бетона с учетом всех потерь при m_т = 0,9

N₀₂= m_тF_н(σ₀-σ_п) = 0,9·12,94 (1120 — 308) (100) = 945.6 кН;

здесь, как в других подсчетах, (100) введено для перевода размерности МПа·см² в Н (МПа·см²= 100 Н).

Эксцентриситет равнодействующей е₀ = у - а = 82 - 9= 73 см. Момент сил обжатия относительно верхней ядровой точки

M^я_об.в.= N₀₂(r_я^в+e₀) = 945,6 (29,5 + 73) = 9692,4 кНсм = 96,92 кНм.

Момент, воспринимаемый сечением балки в стадии эксплуатации непосредственно перед образованием трещин в нижней части,

М_Т =R_pIIW_T +M^я_об = 2 (100) 144305,6+96,92·10⁵=1532,52·10⁵ Нсм

= 1538,52 кНм ≈ 1545,93 кНм (разница менее 0.5%).

Поэтому расчет на кратковременное раскрытие трещин можно не производить.

При отпуске натяжения арматуры усилие обжатия бетона при m_т = 0,9 равно:

N₀₁= m_TF_H(σ₀-σ_пI)= 0,9·12,94(1120-222,28)=1045,57 кН

Момент усилия N₀₁ относительно нижней ядровой точки:

М^я_{об. н}= N₀₁(e₀-r^н_я) = 1045,57 (72 —32,7) = 410912,10 кНсм = 410,91 кНм.

Момент внутренних усилий в момент отпуска натяжения:

M`<sub>T</sub>= R<sub>pII</sub>W`_T-M^я_об.н.= 2(100) 144305,6-410,91·10⁵ = -375·10⁵Нсм = -375 кНм,

что меньше значения момента собственного веса M_с.в=389 , кНм, поэтому трещины в верхней зоне балки при m_т = 0,9 не образуются

При m_т =1,1 будем иметь:

N₀₁ = 945,44(1,1/0,9) = 1277,92 кН;

М^я_об.н. = 1277,92 (0,72 - 0,327) = 511,16 кНм;

М'_т = 508,27 - кНм > М_с.в= 389кНм, следовательно, при m_т =1,1 в верхней зоне могут образоваться трещины. Поэтому необходимо проверить трещиностойкость нижней растянутой зоны балки при m_т = 1,1; при этом момент внутренних сил М_т снижают на величину ϴМ_т. Согласно п. 4.6 СНиП [9], коэффициент ϴ равен:

ϴ= (1,5-0,9/е_т) (I -m) = (l,5-0,9/0,779)(1-0,023)= 0,752

Где е_т=0,85·y/(h-y)·F_II/(F_B+F`_a)= 0,85·82/(154-82)·12,94/(12,94+3,14)=0,779<1,4;

0,85 учитывает снижение параметра е_Т на 15% для конструкций, армированных проволочной арматурой:

m= R_pIIW`_T/(-M_C.B.+M^я_об.н.)=2(100) 144305,6/(-389·10⁵+511,16·10⁵)= 0,023

Усилие обжатия и момент М_Т при m_т = 1.1;

N₀₂= 1,1·12,94(1120 — 308) (100)= 1155,8 кН;

M_T = 2 (100) 144305,6 +1155,8·10³(29,5+72)=1176·10⁵ Н см= 1176 кНм

а с учетом образования трещин в верхней зоне момент внутренних сил будет равен: М_т = ϴМ_т. = 1176(1 – 0,752) = кНм > М_с = 1545,93 кНм; превышение на 8%. т. е. трещи стойкость балки при m_т = 1.1 обеспечивается выше, чем при m_т = 0.9.

2.Расчет по образованию наклонных трещин. За расчетное принимаем сечение 2-2, в котором сечение стенки уменьшается с 27 до 10см. Высота балки на расстоянии 0,55 м от опоры равна при уклоне 1/12:

H= 154-(882-55)/12= 81 см.

Поперечная сила от расчетной нагрузки в сечении 2-2

Q= 35,73·17,65/2-35,75·0,55 = 295,65 кН.

Геометрические характеристики сечения 2-2 балки: площадь приведенного сечения:

F_п= 40·18,5+27,21+10·45,5+12,94·6,15+3,14·6,15= 1321,102 см²;

статический момент приведенного сечения относительно нижией грани

S_п=40·18,5·75,75+45,5·10·43,7+27·21·10,5+3,14·6,15·82+12,94·6,15·9= 84131,731 см³;

расстояние от нижней грани до центра тяжести сечения:

y=S_п/F_п= 84131,731/1321,102= 63,73 см;

h-y= 85-63,73= 21,27см.

момент инерции приведенного сечения относительно центра тяжести

I_п= I₀+Fa²₀= 40·18,5³/12+40·18,5·30,45²+27·21³/12+ 27·34,8²+ 10·45,5³/12+ 10·45,5·1,95²+ 12,94·6,15·36,2²+ 3,14·6,15·36,7² = 951448,63 см⁴

Статический момент верхней части приведенного сечения балки относительно центра тяжести:

S^в_п= 40·18,5·30,45+ 21,2·10·10,6+ 3,14·6,15·36,7= 25470 см³.

Скалывающие напряжения τ на уровне центра тяжести

τ=QS^в_п/I_пb= 295650 · 84131,731/951448,63·10= 2,61 Мпа.

Напряжение в бетоне на уровне центра тяжести сечения от усилия обжатия при m_т= 0,9

σ_x= N₀₂/F_п= 945600 /1321,102= 715,76 Н/см³= 7,15 МПа.

Поскольку напрягаемой поперечной и отогнутой арматуры нет, то σ_у= 0. Момент у грани опоры принимаем равным нулю.

Главные растягивающие ϭ_г.р сжимающие ϭ_г.с напряжения по формуле:

σ_г.с=-σ_x/2-√(σ²_x/4+τ³)= -7,15/2-√(7,15²/4+2,61³)= -9,10 МПа<m₁R_pII=0,375·28= 10,5 МПа,

где ϭ_х приняты со знаком минус, так как напряжения сжимающие (п. 4.11 СНиП |9]):

σ_г.р=-σ_x/2+√(σ²_x/4+τ³)= -7.15/2+√(7.15²/4+2,61³)=1.95 МПа<R_pII=2 МПа

т. е. трещинностойкость по наклонному сечению обеспечена.

3.Определение прогиба балки. Полный прогиб равен:

f = f_д + f_к – f_в – f_в.п;

где каждое значение прогиба вычисляют по формуле;

f = S(l/p)l²₀= 5/48(l/p)l²₀.

з кривизна l/р при равномерно распределенной нагрузке

l/p=M^я_ссk_aE₆I_n

Жесткость B=k_nE₆J₀ для сечения без трещин в растянутой зоне равна:

B=0,85E₆I_n=0,85·32500·951448,63 = 2.62·10¹⁰ кН/см².

Изгибающие моменты в середине балки:

от постоянной и длительной нагрузок (n =1)

М_дл.=q_длl²₀/8=25.45·17,65²/8=991.03 кНм

от кратковременной нагрузки

М_кр.=q_крl²₀/8=4,2·17,65²/8=163,55 кНм.

от полной нормативной нагрузки

М^н= М_дл+М_кр= 991,03+163,55= 1154,58 кНм.

Кривизна и прогиб от постоянной и длительной нагрузок (при с = 2, когда влажность окружающей среды выше 40%):

1/р_д= М_длс/В= 99103·2/2,62·10¹⁰= 7,56·10^-6 см^-1;

f_д=5/48·1765²·7,56·10^-6= 2,45 см

Кривизна и прогиб от кратковременной нагрузки (при с=1)

1/р_к= М_крс/В = 115458·10/0,83·10¹⁰= 1,78·10^-6 см^-1;

f_к= 5/48·1165²·1,78·10^-6= 0,252 см.

Изгибающий момент, вызываемый от усилий обжатия N₀₂приm_т=0,9

М_об=N₀₂e₀= 763,73·0,57=435,3 кНм

Кривизиа и прогиб от усилий обжатия:

1/p_в=М_об/В= 43530/0,83·10¹⁰= 5,25·10^-6 см^-1;

f_B= 1/8·1165²·5,25·10^-6= 0,89 см.

Кривизна и выгиб от усадки и ползучести бетона при отсутствии напрягаемой арматуры в верхней зоне сечения балки

1/р_в.п.= (σ₆+σ₈+σ₉)/h₀E_a= (12,75+40+51)/120·2·10⁵= 4,3·10^-6 см^-1;

f_в.п.= 1/8·1165²·4,3·10^-6= 0,73 см.

Полный прогиб балки

f= f_д+f_k-f_B-f_в.п.= 1,37+0,252-0,89-0,73= 0,002 см <f_пред= (1/400) l₀=

= 1165/400= 2,9 см.

условия удовлетворяются.