math
.pdfАналогично
|
Qdxdydz Q x, y, z dxdz |
Q cos d |
|
|||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Pdxdydz P x, y, z dydz |
P cos d |
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Складывая найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
Pdydz Qdxdz Rdxdy |
|
||||||||
|
y |
|
y |
|
z |
dxdydz |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(23.1) |
||||||
|
P cos Q cos R cos |
F |
n0d |
|
||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула Остроградского
С помощью этой формулы вычисляют объемы тел, используя поверхностные интегралы .
|
|
1 |
|
|
|
|
|
lim |
|
an0 d |
|
||
2. |
|
(23.2) |
||||
V 0 V |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если этот предел существует ,то это будет мощность точечного истока или стока .Другими словами
,это количество жидкости ,проходящей через любую бесконечно малую поверхность
,окружающую точку. Данный предел наз. Дивергенцией или расходимостью векторного поля .
Дивергенция векторного поля a есть придел отношения потока вектора через бесконечно малую поверхность ,окружающую данную точку ,к единице объема.
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
a n |
d |
|
|
|||
lim |
|
|
|
|
d a |
|
|
|
|
|
(23.3) |
||||
|
|
|
|
||||
V 0 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
1) d1 a 0 в данной точке исток (происходит отток жидкости )
2) d1 a 0 сток (приток жидкости )
3) d1 a 0 ни исток, ни сток (т.е. сколько жидкости выливается, столько и вливается).
§24. Формула Стокса. Механический смысл ротора векторного поля
1.Формула Стокса связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру L с интегралом по поверхности σ, ограниченной этим контуром и заданной функцией
z x, y .
Pdx Qdy Rdz ax dx ay dy az dz
L L
|
|
|
ay |
|
ay |
|
|
az |
||
{cos |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
||
z |
y |
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos |
|
ax |
ay |
}d |
|
|
|||
|
y |
x |
|
|
|
|
|
axx
Формула Стокса
d n a
dt
2.a d n
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
—скорость вращения контура L под действием потока жидкости.
На основании теоремы о среднем имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a d n |
|
|
|
|
|
ay |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
ay |
|
|
|
|
|
||||
cos |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ay |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
z |
|
B |
|
|
|
|
|
|
z i |
|
|
||||||||
|
z |
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||
azy
axz
|
|
|
a |
z |
|
a |
|
|
cos |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
z |
|||
|
|
|
|
a |
x |
|
ay |
|
|
|
j |
|
|
|
|
k |
|
||||
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
rota (24.2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rota |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
x |
|
y |
|
z |
(24.3) |
||||
|
|
ax |
|
ay |
|
az |
|
|
|
rota
|
|
|
|
|
|
|
|
a d n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
lim |
L |
|
n0 |
rota rota |
|
|
|
|
0 |
||||
0 |
|
|
|
n |
|
|
n0 —угловая скорость вращения потока жидкости. Формулу Стокса запишем в виде
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n0 |
|
||
a d n |
n |
|
rotad |
rota |
d |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||