Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1263 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный университет Одесская морская академия (бывш. ОНМА)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

math

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
1.78 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

1 U ,V

1

1

 

 

 

 

 

, y1

 

 

 

x U ,V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 x1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

'y

 

dS

 

 

x

y

 

dx dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y U ,V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x3

 

1

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

1 1 1

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

U

1

 

 

 

1 2

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

U

,

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2

 

y y2

2

dy

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

U

,V

 

x , y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0 3 5

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

U U ,V

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

7

 

 

1

 

1

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

21

 

35 7 15

 

 

 

 

13

 

26

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

0

 

 

 

7

 

 

 

0

 

3

 

 

15

 

 

3

 

 

 

7

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x

 

 

 

 

U ,V

V

105

 

105

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

47

 

 

 

 

 

105

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4'

U ,V

 

 

V

 

4

x4

, y4

 

 

 

 

 

 

U ,V V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замена переменных в двойном интеграле

I

D

lim

mdi 0

x U ,V f (x, y)dS y (U ,V )

U ,V D

n

F (Ui ,Vi ) Si'

i 1

 

 

 

n

f ( U ,V , (U ,V )) dS lim

f i , i Si

D '

 

mdi 0

i 1

F (U,V)

 

 

 

 

Si 1 2 3 4

Построим вектор в плоскости ХоY:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x1

y2 y1

0

i 0 j 0 k

 

1 4 1 2 x2

 

 

2

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

y

y

0

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

x1 y4

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x1 y2

y1

 

 

 

 

 

 

1 4 1 2

 

 

 

 

 

x4

x1 y4

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x4

y2

x4

x1 U U ,V (U ,V ) U' , V U

x1 (U, V V) U ,V V' (U , ) V

y1 U U ,V (U ,V ) U' , V U

x1 (U, V V) U ,V V' (U , ) V

По свойству векторного произведения запишем:

 

 

 

 

 

'

, V U , ' , V U

 

 

 

 

 

 

(U ,U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si

 

U

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U )

 

 

 

V' (U , ) V , V' (U , ) V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(V, V V)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

, '

 

 

 

 

 

 

'

'

U V '

'

U V

 

 

 

U V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U V

 

 

 

 

 

 

U

 

 

U

 

 

V

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

, '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

i

S '

 

T U ,V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T U ,V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dU

 

 

dV (16.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dU

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x U ,V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y)dS

y U ,V

 

 

f ( U ,V , U ,V ) T U ,V dS '

(16.2)

D

 

 

 

x, y D

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к полярным координатам

x cos; U y sin; V

, cos, sin

OM 0

-функция - переобозначим в формуле (16.2)

- переменная (угол )

Найдем чему равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ,

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ,

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

cos

sin

cos

2

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

cos

x cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.3

Vц.т.

f x, y dS

y sin

f ( cos , sin ) d d

 

 

D

 

, D

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула перехода к полярной системе координат

§17. Момент инерции прямоугольника, кольца, круга. Интеграл Пуассона

1.

Il mr2 осевой

Io mR2 полярный _ момент _ инерции

I x ?

I y ?

I0 ?

mi i , i Si h i , i

 

i , i Si

 

 

 

 

 

i i , i

 

x, y x, y h x, y

 

i 1,..., n

 

 

Для каждой точки i i , i можно поставить в соответствие mi и расстояния i , i

n

n

Ix mi i2

 

 

 

i , i i2 Si

 

i 1

i 1

n

n

I y mi i2

 

i , i i2 Si

 

i 1

i 1

n

i2 i2 I y I

I0 mi

i 1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

i , i i2

Si

y2

 

 

x, y dS(17.1)

Ix

 

 

 

mdi 0

i1

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

i , i i2

Si

x2

 

x, y dS (17.2)

I y

 

 

 

mdi 0

i1

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0

I y Ix 17.3

 

 

 

 

 

 

Пр1. Момент инерции прямоугольника

 

b

 

x

b

 

 

 

 

2

 

 

2

 

D :

 

 

 

 

h

 

 

h

 

 

 

y

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ix y

dS

 

 

 

y

dy dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

3

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

1

 

 

h

 

 

1

 

 

 

h

 

 

 

 

h

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

2

 

 

 

bh

 

b

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3 3 8

 

 

 

 

12

 

b

 

12

 

 

b

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

bh3

 

см4

 

 

I

 

 

 

 

bh3

см4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

(17.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент инерции относительно центральных осей или центральный момент инерции

Полярный момент I 0 равен:

I0 Ix I y

 

bh

h

2

b

2

 

 

4

(17.5)

 

 

 

 

 

 

12

 

 

см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

D : R 2

x2 y2

R2

кольцо

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ix

y2dS

 

y sin

 

 

2 sin2 d d

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

R1 R2

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin2 d d sin

2

 

 

2

d

 

 

R1

0

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R4 R4

 

1

 

 

2

 

1

 

1

sin2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

0

 

 

 

 

2

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R4

R4

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R24

R14

 

2

 

1

 

2

 

 

 

 

 

sin 4

 

 

 

 

4

 

 

2

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

4

 

4

 

4

 

 

Tx

 

 

R2

R1

 

 

d2

d1

см

17.6

 

4

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1 2R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

2R (17.7)

Tx Ty -основные моменты инерции

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T T T

 

 

 

 

d

4

d 4 17.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x

y

 

32

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Круг. d1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T T

 

 

 

 

d 4 17.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

64

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

d 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

32

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Интеграл Пуассона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R , R

 

 

e x2 y2 dS 17.10 ,где D : R 2 x2 y2 R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos ; R1 R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y sin ;0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R R

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

2

d d

 

 

D

'

 

 

R2

e

2

d

 

 

 

e

cos

 

 

sin

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0 2

 

 

 

 

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

R1

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

1

 

 

2

 

 

R

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

2 d

 

e R2

e R1

 

 

 

 

 

e R2

e R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R , R

e R22

e R12

17.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1 0, R2

0, 1 0

Рассмотрим интеграл (17.10) для всей плоскости

 

 

x

0, R2

 

 

 

 

 

y

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

0, e x

y

dxdy

 

 

e x

e y dy dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

e y dy dx

e y dy

e x dx

 

e x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

dx

 

(17.12) Интеграл Пуассона

 

 

 

 

 

 

 

 

§18. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл

 

 

n

z, y, z V

f x, y, z

V Vi

 

 

i 1

Будем считать, что масса тела, равна сумме масс mi

n

 

 

M mi

mi Si pi , где

pi f i , i , i

i 1

 

 

n

—это заменяется на М f z, y, z V (18.1)

M f i , i , i Vi

i 1

 

V

Теорема: Если ф-я f x, y, z непрерывна в объеме V и этот объем ограничен, то всегда существует придел, который не зависит от способа разбиения объема V и от выбора точки i

dV dxdydz —Замена переменных в тройном интеграле

x U ,V ,W y U ,V ,W z U ,V ,W

x, y, z V U ,V ,W V

Vi 1 2 1 3 1 4

1 x1, y1, z1 ,где x1 U,V ,W , y1 U,V ,W , z1 U,V ,W

2 x2 , y2 , z2 , где x2 U U,V ,W , y2 U U,V ,W , z2 U U,V ,W

3 x3 , y3 , z3 , где x3 U,V V ,W , y3 U,V V ,W , z3 U,V V ,W

4 x3 , y3 , z3 ,где x4 U,V ,W W , y4 U,V ,W W , z4 U,V,W W

1 2 x2 x1, y2 y1,W2 W1

x2 x1 U U ,V ,W U ,V ,W

 

U

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

U

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

U

 

U

 

 

V

 

 

 

V

 

V

 

 

 

V

U V W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

V

 

 

V

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

W

W

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

W

W

 

 

 

 

U

U

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

V

 

U

 

 

I

 

 

 

 

 

 

—якобиан для функции трех переменных

 

 

U

 

V

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

V

 

U

 

 

 

x U ,V ,W

 

 

 

f x, y, z dV

y U ,V ,W

 

V

z U ,V ,W

 

 

U ,V ,W V

 

 

 

 

F U ,V ,W I dUdVdW

V

F U,V ,W f U ,V ,W U ,V ,W U ,V ,W

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности