math
.pdf§19.Вычисление тройного интеграла
Пусть в обьеме V определена непрерывная фу нкция U f x, y, z .Зафиксируем переменные x и y. Тогда U f x, y, z является функция единой переменной z. Построим интеграл
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x, y, x dz , который будет функцией от x и y, а z1 |
H1 x, y , z2 |
H2 x, y . Обозначим эту |
|||||||||||||||||
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцию x, y и запишем: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
H2 x, y |
|
|
|
|
|
|
x, y |
f x, y, x dz |
|
f x, y, x dz |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
H1 x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2 x |
|
H |
2 |
x, y |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
MV |
|
|
|
|
|
f x, y, x dz dy dx |
(19.1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a 1 x |
H1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
d |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
H |
|
|
x, y |
|
|
|
|
|
(19.2) |
|
M |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x, y, x dz dy |
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
c 1 x |
H1 |
x, y |
|
|
|
|
|
Интегралы (19.1) и (19.2) называются трехкратными интегралами. Если представим, что имеем объем V и f x, y, x есть плотность материала, то M V есть масса этого объема. Формулы (19.1) и
(19.2) позволяют вычисление тройного интеграла свести к вычислению трехкратного. А вычисление трехкратных к вычислению обыкновенных интегралов по одной переменной при фиксированных других переменных.
Пр.1. Вычислить интеграл.
|
0 |
x 1 |
I x3 y2dxdydz , где V задаеться: 0 |
y x |
|
V |
0 |
z xy |
|
Решение:
|
|
|
1 |
|
x |
xy |
|
|
|
|
I x3 y2dxdydz dx dy x3 y2dz |
|
|||||||||
|
V |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||
1 |
x |
1 |
y4 |
|
x dx |
1 |
1 |
1 |
||
|
||||||||||
dx x4 y3dy x4 |
|
x8dx |
||||||||
|
|
|
||||||||
0 |
0 |
0 |
4 |
|
0 |
|
4 |
0 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
Пр.2. Вычислить тройной интеграл z x2 y2 dV по ограниченной области V:
V
z 0; z 2; x2 3x y2 0
Решение:
a y z UV . Тогда a2 z UVW
Отсюда: U x y z, V |
a y z |
, W |
az |
|||||||
x y z |
y z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
или |
|
|
|
|
||||
x |
U a V |
, y |
UV a W |
, |
z |
UVW |
|
|||
|
a |
|
a2 |
|
a2 |
При этом тетраэдр переходит в куб
0<U<a, 0<V<a, 0<w<a и
I U 2V a3
Следовательно:
|
z |
|
dV |
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 y2 |
|
U |
|
1 |
|
U 2VdUdVdW |
|||||||||
V |
|
V1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
a |
a |
a |
|
|
1 |
|
|
a2 |
a4 |
||||||
|
|
|
|
U 3dU VdV dW |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
a |
3 |
a |
3 |
|
2 |
4 |
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a4
8
§20.Формула Остроградского-Грина для двойного интеграла. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
Vц.т.
Dxy
b 2 |
x |
|
d 2 |
y |
|
f x, y dxdy |
f x, y dy dx |
f x, y dx dy (20.1) |
|||
|
x |
|
|
y |
|
a 1 |
|
c 1 |
|
AHB : y x
2
ACB : y 1 x CBH : x 2 y CAH : x 1 y
x, y Dxy Q x, y
1.Расмотрим интеграл
|
|
x, y |
|
|
|
b |
2 x |
|
x, y |
|
|
|||
I1 |
dxdy |
|
|
|
dy dx |
|||||||||
|
|
y |
|
|||||||||||
|
Dxy |
|
y |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
|
|
|
|
b b |
|
|
|
|
|
|
x , 2 x dx x, 1 x dx |
||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
a a |
|
|
|
|
|
|
|
выразим через |
|
b |
x, 2 |
x dx |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
крив. инт. |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, 1 x dx x, y dx x, y dx |
||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
BHA |
|
|
ACB |
|||
|
|
x, y dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y |
dxdy |
x, y dx |
(10.2) |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q x, y |
d 2 |
y |
Q x, y |
|
|
|
I2 |
dxdy |
dx dy |
|||||
x |
|
||||||
Dxy |
|
y |
x |
|
|||
|
c 1 |
|
|
|
|||
d |
|
d |
|
|
|
|
|
Q 2 y , y dy Q 1 y , y dy |
|
c
2.
Q x,
CBH
Q x,
c
|
c |
|
y dy Q 1 |
y , y dy |
|
|
d |
|
y dy Q x, y dy
Q x, y
CBH
CBH L
|
|
|
Q x, y |
dxdy |
Q x, y dy (10.3) |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
Dxy |
x |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Складывая левые и правые части (10.2) и (10.3) получим: |
|
|||||||
|
Q x, y |
|
x, y |
dxdy |
|
Q x, y dy x, y dx |
|||
|
|
|
|
||||||
x |
y |
|
|
(10.4) |
|||||
Dxy |
|
L |
|
|
Формула Остроградского-Грина
3.Замечание. Дано т. А и В
L AKB BTA
|
|
Q x, y |
|
x, y |
|
|
Если |
|
|
x |
y |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
То из (10.4) следует: |
||||||
0 |
|
Q x, y dy x, y dx |
||||
|
|
|
|
|
L
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Q x, y dy x, y dx |
|
|
Q x, y dy x, y dx |
||
|
AKB |
|
|
|
BTA |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
Q x, y dy x, y dx |
|
|
Q x, y dy x, y dx |
AKB |
ATB |
Вывод: Если Q , то справедлива (10.5), т.е. кривол. Интеграл не зависит от формы кривой.
x y
Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл не зависел от формы кривой, соединяющие точки А и В и расположенной в односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому простому замкнутому контуру, проходящему через эти точки, был равен нулю:
|
Pdx Qdy 0 |
An B A |
|
Теорема 2. Для того чтобы был равен нулю, криволинейный интеграл Pdx Qdy , где P и Q —
L
непрерывные функции, допускающие непрерывные частные производные по у их в односвязной oбласти D, содержащий контур L, необходимо и достаточно, чтобы
Q Px y
§21. Поверхностный интеграл 1-го рода и его вычисление
1.Задача о вычислении массы поверхности. Пусть в определении область D является поверхность
σ, в каждой точке которой определена скалярная функция U f x, y, z
Mi |
i , dM dV , D |
|
n |
n |
|
lim f pi Mi |
lim f pi i |
f x, y, z d (21.1) |
0 i 1 |
0 i 1 |
|
Поверхностный интеграл 1-го рода или интеграл 1-го рода по поверхности
Дадим физическую интерпретацию этого интеграла. Пусть U f x, y, z 0 непрерывна в каждой точке материальной поверхности σ и представляет плотность материала.
n |
|
lim f pi i |
f x, y, z d |
0 i 1 |
|
2.Пусть поверхность, вдоль которой берется интеграл , задана уравнением z x, y
|
f x, y, z d |
|
|
|
|
|
|
(21.2) |
|||||||
|
|
f x, y, x, y |
1 p2 q2 dxdy |
||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
Вычисление интеграла первого рода по поверхности сводиться к отысканию двойного интеграла.
§22.Поверхностный интеграл 2-го рода и его вычисление
1.Задача о вычис лении потока жидкос ти через поверхнос ть.
|
n0 cos , cos , cos —нормаль |
|
|||
|
|
|
|
|
|
a x, y, z P x, y, z i |
Q x, y, z j r x, y, z k |
||||
|
|
|
|
|
|
f x a |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ni i —площадь ячейки |
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
lim a |
pi ni0 i a x, y, z n0d |
(22.1) |
|||
0 i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхностный интеграл второго рода или интеграл второго рода по поверхности Интеграл (22.1) наз. еще потоком вектора через поверхность.
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
d d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an0d a |
d |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n0 P x, y, z cos Q x, y, z cos |
|||||||
|
|
|
|
|
R x, y, z cos |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
P x, y, z cos Q x, y, z cos R x, y, z cos d |
||||||
|
a |
n0d |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P cos Q cos R cos d |
|
|
(22.3) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d i |
ni d i и |
Si |
k Si |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS d cos |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
d cos dydz |
d cos dxdz |
|
|
|
|
|
|
|
P x, y, z dydz Q x, y, z dxdz R x, y, z dxdy |
||||||||||||||||
|
a n0d |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
P x, y, z dydz P cos d |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Q x, y, z dxdz Q cos d |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R x, y, z dxdy R cos d |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Поверхностные интегралы по координатам |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. z x, y , то |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
q |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 q2 |
|
|
|
|
|
|
1 p2 q2 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
а cos d pdS |
|
|
|
|
|
|
cos d qdS |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P x, y, z cos d |
|
|
|
|
p dS |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x, y, x, y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Q x, y, z cos d |
|
q dS |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q x, y, x, y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
R x, y, z cos d |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R x, y, x, y |
dS |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вычисление поверхностных интегралов по координатам сводиться к вычислению двойных интегралов. Знак «+» или «-»перед двойными интегралами ставиться в соответствии со
стороной поверхности, соответствующей знаку перед корнем 1 p2 q2 , или в соответствии со знаком cos .
§23.Формула Остроградского для тройного интеграла. Механический смысл дивергенции векторного поля
Формула Остроградского-Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой с двойным интегралом по
площади, ограниченной этой кривой.
|
|
R |
|
|
|
|
H |
x,y |
|
R |
|
|
|
||
|
dxdydz dxdy |
2 |
|
|
dz |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
V |
|
z |
|
|
D |
|
H |
x,y |
|
z |
|
|
|||
dxdy R x, y, H2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x, y R x, y, H1 x, y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x, y |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
R |
x, y, H |
|
dxdy |
|
|
R x, y, H |
|
x, y dxdy |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
R x, y, z dxdy |
|
R cos d , |
|||
|
|
|
|
|
R x, y, H |
|
x, y dxdy |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R x, y, z dxdy |
|
|
|
d , |
||||
|
|
|
R x, y, H |
x, y dxdy |
|
|
|
R cos |
||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
R x, y, z dxdy R cos d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R x, y, z |
dxdy R x, y, z cos d |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R cos d R cos d R cos d |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
Rdxdydz Rdxdy R cos d |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|