5.3.3. Исследование устойчивости систем, содержащих звенья транспортного запаздывания

При выполнении этой части работы следует придерживаться следующего порядка действий:

1. Изменить найденное значение варьируемого параметра вдвое по сравнению с критическим значением, так чтобы система приобрела устойчивость (в нашем примере уменьшить до значения 5).

2. Определить выражение передаточной функции разомкнутой системы.

3. Построить графики раздельных ЛАЧХ и ФЧХ (диаграмму Боде) разомкнутой системы и определить по графикам основные характеристики − частоту среза, запас по фазе.

4. Рассчитать критическое время транспортного запаздывания в соответствии с формулой (3.5).

5. Проверить правильность расчета путем прямого моделирования в пакете Simulink. Для этого ввести в созданную ранее S-модель следующие изменения:

– варьируемый коэффициент в соответствующем звене изменен вдвое сравнительно с критическим значением;

− в канал управления добавлено звено ИТЗ, для которого следует установить значение времени транспортного запаздывания равно критическому;

− выбрать время расчета и, проведя моделирование процесса, убедиться, что в этом случае замкнутая система будет находиться на границе колебательной устойчивости.

Пункты задания 2 − 4 удобно выполнять используя инструментарий приложения Matlab – CST (Control System Toolbox).

Так для рассмотренного выше примера имеем следующий листинг последовательности команд:

>> k=0.5*Kkr; % Задание к-та усиления регулятора в 2 раза меньше критического значения

>> w1=tf([1],[2 1]);w2=tf([1],[3 1]);w3=tf([k],[1 1]);% передаточные функции звеньев

>> w_raz=w1*w2*w3;%передаточная функция разомкнутой системы

>>margin(w_raz) % построение диаграммы Боде c указанием запасов устойчивости

Графики диаграммы, совместно с текстовым сообщением о запасах устойчивости, представлены на рис. 5.5.

Рис.5.5. ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы с указанием запасов устойчивости по амплитуде и по фазе..

Величина критического времени запаздывания рассчитывается по формуле (5.5) и составляет для рассматриваемого примера –

Вычисленное значение допускает проверку двумя способами.

1. Проверка путем построения диаграммы Боде.

Введем эффект транспортного запаздывания в передаточную функцию разомкнутой системы и проверим, что в этом случае величина запаса устойчивости будет приблизительно равняться нулю:

>> w_raz_mod=tf([1],[2 1])*tf([1],[3 1])*tf([5],[1 1],'inputdelay',0.515);

>> %Модифицированное выражение для передаточной функции разомкнутой системы

>> margin(w_raz_mod)

График модифицированной диаграммы Боде представлен на рис. 5.5.

Рис.5.5. ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы модифицированной введением звена ИТЗ с настройкой на критическое время транспортного запаздывания.

Из рис. 5.5 видно, что система находится на границе устойчивости, поскольку величины запасов устойчивости приблизительно равны нулю.

2. Проверка путем исследования процессов в пакете Simulink.

Для этого следует в исходную схему S-модели (рис.5.4а) ввести звено ИТЗ (Time delay), настроить окно свойств его, установив время запаздывания равное критическому и убедиться, что при этом условии переходной процесс в системе соответствует незатухающему гармоническому колебанию. В заключение сравните характеристики переходных процессов, протекающих в замкнутой системе в отсутствие и при наличии звена ИТЗ.