- •Учреждение «Университет «Туран»
- •Содержание
- •5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации
- •Математика 1 Пояснительная записка
- •2 Примерный перечень практических занятий
- •Учреждение «Университет «Туран»
- •Рабочая программа по дисциплине: «Математика 1»
- •Пояснительная записка
- •Общие данные по рабочей программе.
- •Общее описание рабочей программы
- •Иметь представление о роли аналитической геометрии и линейной алгебры в прикладных исследованиях;
- •Основная часть тематика лекционных занятий
- •Тематика практических занятий
- •Тематика самостоятельной работы
- •Тематика срсп
- •Список рекомендуемой литературы
- •Учреждение «Университет «Туран»
- •Силлабус по дисциплине: «Математика 1»
- •Описание изучаемой дисциплины (пояснительная записка)
- •Общие данные по рабочей программе.
- •Общее описание рабочей программы
- •Иметь представление о роли аналитической геометрии и линейной алгебры в прикладных исследованиях;
- •Темы и продолжительность их изучения
- •Тематика практических занятий
- •Задания самостоятельной работы
- •Рубежный контроль
- •Критерии оценки знаний обучающихся (обобщенные)
- •Определение итоговой оценки по вск
- •Итоговая оценка
- •Вопросы для проведения контроля
- •Требования преподавателя
- •Правила поведения на аудиторных занятиях
- •Методические указания
- •График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •Учреждение «Университет «Туран»
- •1 Тема: Матрицы и определители
- •2 Тема: Система линейных уравнений.
- •3 Тема: Элементы векторной алгебры.
- •4 Тема: Аналитическая геометрия на плоскости
- •1. Различные уравнения прямой
- •1.2 Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •1.3 Нормальное уравнение прямой
- •5 Тема: кривые второго порядка
- •6 Тема: Аналитическая геометрия в пространстве
- •7 Тема: Поверхности второго порядка
- •Глоссарий
- •Глоссарий
- •12 Тема. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •13 Тема. Дифференциал функции
- •Глоссарий
- •План практических занятий
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •«Математика 1»
- •(По работе с учебно-методическим комплексом)
- •Основания, целевая аудитория и ориентированность учебно-методического комплекса
- •Структура, содержание и образовательные возможности учебно-методического комплекса
- •Рекомендуемый порядок работы с учебно-методическим комплексом
- •Материалы для самостоятельной работы обучающегося по дисциплине «Математика 1»
- •Тема 1. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучающихся
- •Карта обеспеченности дисциплины учебной и учебно-методической литературой
3 Тема: Элементы векторной алгебры.
а) операции над векторами
Обобщим понятия о векторах , известные со школьного курса геометрии
Вектором называется направленный отрезок АВ
Обозначается двумя заглавными или одной строчной буквой.
Длина(модуль) вектора АВ обозначается .
Два вектора расположенные на одной прямой или на двух паралельных прямых называются коллиниарными.
Три вектора расположенные в одной плоскости.
Суммой векторов и называется вектор =+, здесь вектор соединяет начало вектора с концом вектора (правило треугольника).
Кроме того, сумма векторов и определяется как диагональ параллелограма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма).
Произведением вектора на число k называется вектор =k*, удовлетворяющий условиям: 1.Длина =* 2. направление вектора совпадает с направлением вектора в, если k>0 и протиположно направленный если k<0 .
Аналогично можно определить сумму нескольких векторов, например сумма четырех векторов будет вектор начало которого совпадет сначалом вектора , а конец с концом вектора ( правило многоугольника).
Сумма векторов и,не лежащих в одной или паралельных плоскостях, есть вектор определяемый диагональю параллепипеда построенного ан векторах (правило параллелпипеда).
Разность векторов и есть вектор равный сумме вектора и вектора противоположного вектору т.е. ( - ).
Если на векторах и построен параллелограмм, то одна диагональ есть сумма, а вторая есть их разность.
Если на множестве определены две операции, которые удовлетворяют законам сложения и умножения на число, тотакое множество называется векторным пространством.
Система векторов называется базисом векторного пространства, если она удовлетворяет условиям:
система векторов линейно независима
любой вектор векторного пространства линейно выражается через эти вектора
Число векторов базиса называется размерностью пространства.
Разложение вектора по базисным векторам имеет вид: , здесь коэффициенты перед базисными векторами называются координатами вектора. В двумерном пространстве вектор имеет координаты-={х,y}, а в трехмерном пространстве = {х,у,z}.
Тогда для векторов и координаты суммы и разности будут определятся соответственно (1)
А координаты произведения вектора на число λ будут .
б) Скалярное произведение векторов.
Определение: Скалярным произведением () векторов и называется число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними
() = (2)
Определим скалярное произведение векторов и через координаты этих векторов. Для векторов , , скалярное произведение равно: (3).
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Если болса, то , =1 и , тогда длина вектора будет (4).
Угол между векторами и определяется по формуле
(5).
Таким образом, скалярное произведение применяется при нахождении длин и величин углов.
в) Векторное произведение векторов и его свойства
В векторном пространстве V рассмотрим ортонормированный базис R= . Пусть неколлениарные векторы.
Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:
1)
2)
3)Тройки векторов одинаково ориентированы.
Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю. Пусть векторы заданы своими координатами и неколлинеарны:
Тогда ранг =2, отсюда векторное произведение не равно нулю. Координаты этого вектора относительно базиса удовлетворяют системе уравнений , определитель которой отличен от нуля:
(3)
(2),(3) .
Из первого условия определения найдем необходимое значение для t. Изветно, что
sin
(4) тогда .
Здесь
После вычислений находим:
(5)
(6)
(4),(5),(6) (7)
(1), (2), (7)
Если векторы коллинеарны, то ранг и (8) формуле каждый определитель равен нулю. По определению ПОэтому и в этом случае (8) формула справедлива. Таким образом, доказана теорема.
ТЕОРЕМА. Если
то
(8) формулу удобно записывать следующим образом:
(9)
Свойства векторного произведения.
1), 2), 3) свойства следуют из (8) формулы.
Применение векторного произведения.
1. Модуль векторного произведения равен площади параллелограммаABCD
2. Площадь треугольника равна :
Смешанное произведение векторов и его свойства .
Пусть положительно ориентированный ортонормированный базис.
Определение Смешанным произведением векторов называется число обозначаемое и равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и .
Таким образом, - число.
1-ТЕОРЕМА (геометрический смысл смешанного проиведения).Если - три некомпланарных вектора и , то абсолютное значение смешанного произведения равно объему параллелипипеда построенного на векторах :
(1)
2- ТЕОРЕМА. Если в базисе координаты векторов , то
(2)
Свойства смешанного произведения:
Применение смешанного произведения.
Пусть относительно прямоугольной системы координат тетраэдр ABCD задан своими вершинами:
. Тогда его объем находится по формуле:
.