4.2 Основи моделювання методом статистичних випробувань

В основі імітаційного моделювання лежить метод статистичних випробувань (метод Монте–Карло), який базується на використанні випадкових чисел, тобто можливих значень деякої випадкової величини з заданим розподілом ймовірностей. Кожного разу, коли на хід модельованого процесу впливає випадковий фактор, його вплив імітується за допомогою спеціально організованого розіграшу (“жеребу”). Таким чином, будується одна реалізація випадкового явища, котра відтворює якби результат одного досліду. В процесі моделювання формується велике число реалізацій.

Узагальнена структура дослідження системи методом статистичного моделювання показана на рисунку 4.1.

Із вище зазначеного виходить, що суть метода статистичного моделювання зводиться до побудови для процесу функціонування досліджуваної системи S деякого моделюючого алгоритму, який імітує поведінку і взаємодію елементів системи з урахуванням випадкових вхідних дій і дій зовнішнього середовища Е, і реалізації цього алгоритму з використанням програмно–технічних засобів ЕОМ.

Рисунок 4.1 – Схема алгоритму статистичного моделювання процесів функціонування системи

За математичні схеми, які використовуються для формування дії випадкових факторів, приймаються випадкові події, випадкові величини і випадкові функції.

Реалізацію випадкових величин і функцій здійснюють з допомогою спеціального механізму розиграшу в ході статистичного моделювання. В результаті статистичного моделювання системи S отримується серія часткових значень шуканих величин або функцій, статистична обробка котрих дозволяє отримати відомості про поведінку реального об’єкту або процесу в довільний момент часу.

Якщо кількість реалізацій достатньо велика, то отримані результати моделювання системи набувають статистичної стійкості і з достатньою точністю можуть бути прийняті як оцінки шуканих характеристик процесу функціонування системи S.

Для моделювання процесу на ЕОМ необхідно перетворити його математичну модель в моделюючий алгоритм. Методика побудови моделюючих алгоритмів передбачає використання наступних основних типів операторів.

1. Обчислювальні. В операторних схемах моделюючих алгоритмів кожний обчислювальний оператор може описувати будь-яку, як завгодно складну і громіздку групу операцій.

2. Оператори формування реалізацій випадків процесів. Їх вводять для імітації дії різних випадкових факторів, які супроводжують досліджуваний процес. З допомогою цих операторів виконується реалізація випадкових подій, випадкових величин, випадкових факторів і т. ін.

3. Оператори формування невипадкових величин. З їх допомогою формуються різні константи і невипадкові функції часу.

4. Лічильники.

4.3 Приклад побудови статистичної моделі

Розглянемо деяку стохастичну систему S, функціонування якої описується наступними співвідношеннями:

– вхідними діями ;

– діями зовнішнього середовища ,

де  і  – випадкові величини з відомими функціями розподілу.

Вихідна величина у залежить від вхідної дії х і дії зовнішнього середовища w_i та визначається співвідношенням

. (4.1)

Необхідно методом статистичного моделювання знайти оцінку математичного сподівання М[y] величини у.

Згідно з теоремами теорії ймовірності за математичне сподівання М[y] можна прийняти середнє арифметичне, обчислене за формулою

, (4.2)

де у_і – випадкове значення величини у в і-й реалізації;

N_p – кількість реалізацій, необхідна для статистичної стійкості результатів.

Структурна схема системи S показана на рисунку 4.2.

 i					 і		Зовнішнє середовище
					О2
					wi
		Система S
					К2
					h i”
О1		хі	К1	h i’	С	h i		В	y i
Рисунок 4.2 – Структурна схема системи S

Позначені елементи виконують наступні функції обчислення:

О₁: і О_2: ; піднесення до квадрату К₁: і К₂: підсумовування С:; добування кореня квадратного В:.

Логічна схема алгоритму статистичного моделювання для оцінки шуканої характеристикиМ[y]  системи S наведена на рисунку 4.3.

Рисунок 4.3 – Схема моделюючого алгоритму процесу функціонування системи S

Ця модель дозволяє отримати методом статистичного моделювання на ЕОМ статистичну оцінку математичного сподівання вихідної характеристики M[y] досліджуваної стохастичної системи S. Точність і достовірність результатів моделювання буде визначитись кількістю реалізації N_p.