- •1.Основные понятия теории множеств.
- •2.Операции над множествами.
- •3.Соответствия, отображения и функции.
- •4. Отношения на множествах
- •5. Операции на множествах, понятие алгебры
- •6. Алгебра Кантора. Законы алгебры Кантора
- •7. Алгебраические системы. Решетка Хассэ
- •8.Задание множеств конституентами (числом)
- •9. Основные понятия комбинаторики
- •10. Размещения
- •11. Перестановки
- •12. Сочетания
- •13. Треугольник Паскаля
- •14. Бином Ньютона
- •15. Задание графов
- •16. Свойства графов
- •17. Понятие о задачах на графа
- •18. Понятие о переключательных функциях
- •19. Двоичные переключательные функции и способы их задания
- •20. Основные логические операции
- •21. Элементарные переключательные функции
- •22. Определение свойств переключательных функций
- •23. Функциональная полнота систем переключательных функций. Теорема Поста о функциональной полноте систем пф
- •24. Переключательные схемы - техническая реализация пф
- •25. Основные законы булевой алгебры пф
- •26.27. Формы представления переключательных функций. Сднф. Скнф
- •28. Цели минимизации пф
- •29. Основные понятия минимизации пф
- •30. Метод Квайна-Мак-Класки
- •31.32. Задание пф картой Карно. Карта Карно на три и четыре переменных
- •33. Минимизация на кубе соседних чисел
- •35. Основные определения теории автоматов
- •36. Описание конечных автоматов таблицами переходов-выходов и графами
- •37. Техническая интерпретация конечного автомата
- •38. Синтез комбинационных автоматов в заданном базисе
- •39. Элементарные автоматы памяти
- •40. Системы счисления - основа различных кодов
- •41. Представление информации в эвм
21. Элементарные переключательные функции
Переключательные (логические) функции, соответствующие логическим операциям В2В, называют элементарными. Количество переключательных (логических) функций от n переменных определяется выражением 22n, поскольку |Bn|=2n, а на каждом из 2n наборов переключательная (логическая) функция может принимать одно из значений из того же множества В (табл. 23).
Таблица 23
Переключательные функции от n переменных
№ |
Набор |
Номер логической функции | |||||
п/п |
значений переменных |
0 |
1 |
2 |
3 |
... |
22n-1 |
1 |
00...00 |
0 |
1 |
0 |
1 |
... |
1 |
2 |
00...01 |
0 |
0 |
1 |
1 |
... |
1 |
3 |
00...10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
4 |
00...11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
... |
. . . |
22 |
11...11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
Например, рассмотрим все переключательные (логические) функции одной переменной (табл. 24).
Таблица 24
Переключательные функции одной переменной
|
Переключательная (логическая) функция | |||
х |
f0(x) |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Поскольку 221=4, то имеется четыре логических функции одной переменной, две из них – константы: f0(x)=0, f3(x)=1 (f0(x) – константа нуля, f3(x) – константа единицы). Здесь номер функции означает десятичное число, соответствующее двоичному числу, записанному в соответствующем столбце табл. 24.
Функция f2(x)=х, т.е. совпадает со значением переменной. Эта функция называется функцией повторения. Функция нам уже известна – это инверсия.
Можно заметить, что для каждой функции одной переменной существует инверсная ей функция:
Элементарные переключательные (логические) функции двух переменных
Рассмотрим все функции двух переменных (табл. 25).
Таблица 25
Переключательные функции двух переменных
|
|
20 |
21 |
22 |
23 |
|
| ||
|
|
Набор |
Название |
Формула | |||||
20 |
х1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
функции |
| ||
21 |
х2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
| ||
|
f0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Константа 0 |
0 | ||
|
f1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Функция Пирса (Вебба), «стрелка Пирса», ИЛИ-НЕ |
х1х2= | ||
|
f2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Запрет х2 | |||
|
f3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Отрицание х2 | |||
|
f4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Запрет х1 | |||
|
f5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Отрицание х1 | |||
|
f6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Сложение (сумма) по mod2 |
х1х2= | ||
|
f7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Функция Шеффера, «штрих Шеффера», И-НЕ |
х1|х2= | ||
|
f8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Конъюнкция, И |
х1х2 | ||
|
f9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Эквиваленция (эквивалентность) |
х1х2= | ||
|
f10 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Повторение х1 |
х1 | ||
|
f11 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Импликация х2 в х1 |
х2х1 | ||
|
f12 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Повторение х2 |
х2 | ||
|
f13 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Импликация х1 в х2 |
х1х2 | ||
|
f14 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция, ИЛИ |
х1х2 | ||
|
f15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Константа 1 |
1 |
Всего таких функций имеется 222=24=16. Есть функции, зависящие только от одной переменной. Есть функции, не зависящие от переменных, – константы 0, 1. Такие функции называют вырожденными:
f3(x1x2)=;f5(x1x2)=;f10(x1x2)=х1; f12(x1x2)=х2;
f0(x1x2)=0; f15(x1x2)=1.
Некоторые функции мы тоже уже знаем: конъюнкцию f8(x1x2)=х1х2 (точку между х1 и х2 опускаем); эквиваленцию (эквивалентность) f9(x1x2)=х1х2=х1х2 (здесь эквиваленция представлена в виде дизъюнкции двух конъюнкций, что можно доказать, составив таблицу истинности); импликацию f11(x1x2)=х2х1=х1, f13(x1x2)=х1х2=х2; дизъюнкцию f14(x1x2)=х1х2.
Кроме этого, имеются другие функции, зависящие от двух переменных: f1(x1x2)=– функция Пирса (Вебба) («стрелка Пирса»);f2(x1x2)=– запрет х2; f4(x1x2)=– запрет х1; f6(x1x2)=x1x2 –сложение по модулю 2 (функция, инверсная эквиваленции); f7(x1x2)=– функция Шеффера («штрих Шеффера»).