11.Свойства дисперсии. Правило сложения (разложения) дисперсии и его использование в статистическом анализе.
Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:
Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:
Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):
где n - частота (повторяемость фактора Х)
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Свойство
2.
Уменьшение всех значений признака на
одну и ту же величину A не меняет величины
дисперсии
.
Значит, средний квадрат отклонений
можно вычислить не по заданным значениям
признака, а по отклонениям их от
какого-либо постоянного числа.
Свойство
3.
Уменьшение всех значений признака в K
раз уменьшает дисперсию в K2 раз, а среднее
квадратическое отклонение в K раз
.
Значит, все значения признака можно
разделить на какое-то постоянное число,
например, на величину интервала ряда,
исчислить среднее квадратическое
отклонение, а затем умножить его на
постоянное число:
.
Свойство
4.
Если вычислить средний квадрат отклонений
от любой величины A, в той или иной степени
отличающейся от средней арифметической
(), то он всегда будет больше среднего
квадрата отклонений, вычисленного от
средней арифметической
.
Средний квадрат отклонений при этом
будет больше на величину ( – A)2 :
.
Значит, дисперсия от средней величины всегда меньше дисперсий, вычисленных от любых других величин, т.е. она имеет свойство минимальности.
На
этих математических свойствах дисперсии
основываются способы, которые позволяют
упростить ее вычисление. Например,
расчет дисперсии по способу моментов
или способу отсчета от условного нуля
применяется в вариационных рядах с
равными интервалами. Расчет производится
по формуле:
,
где K – ширина интервала;
A – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
–момент
второго порядка.
Правило сложения дисперсии заключается в том, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий
,
где
— межгрупповая дисперсия;
— средняя из внутригрупповых дисперсия.
12.Виды статистических графиков по содержанию решаемых задач и способам построения.
Существует множество видов графических изображений. Их классификация основана на ряде признаков:
способ построения графического образа;
геометрические знаки, изображающие статистические показатели;
задачи, решаемые с помощью графического изображения.
По способу построения статистические графики делятся на диаграммы и статистические карты.
Диаграммы - наиболее распространенный способ графических изображений. Это графики количественных отношений. Виды и способы их построения разнообразны. Диаграммы применяются для наглядного сопоставления в различных аспектах (пространственном, временном и др.) независимых друг от друга величин: территорий, населения и т. д. При этом сравнение исследуемых совокупностей производится по какому-либо существенному варьирующему признаку.
Статистические карты - графики количественного распределения по поверхности. По своей основной цели они близко примыкают к диаграммам и специфичны лишь в том отношении, что представляют собой условные изображения статистических данных на контурной географической карте, т. е. показывают пространственное размещение или пространственную распространенность статистических данных.
Геометрические знаки, как было сказано выше, - это либо точки, либо линии или плоскости, либо геометрические фигуры. В соответствии с этим различают графики точечные, линейные, плоскостные и пространственные (объемные).
При построении точечных диаграмм в качестве графических образов применяются совокупности точек; при построении линейных - линии. Основной принцип построения всех плоскостных диаграмм сводится к тому, что статистические величины изображаются в виде геометрических фигур и, в свою очередь, подразделяются на
столбиковые,
полосовые,
круговые,
квадратные,
фигурные.
Статистические карты по графическому образу делятся на
картограммы
картодиаграммы.
В зависимости от круга решаемых задач выделяют
диаграммы сравнения,
структурные диаграммы
диаграммы динамики.
Особым видом графиков являются диаграммы распределения величин, представленных вариационным рядом. Это гистограмма, полигон, огива, кумулята.