Глава 4 термодинамика газового потока

4.1. Уравнения и параметры движущегося газа

В рассмотренных выше процессах не учитывалась кинетическая энергия рабочего тела. Однако в теплотехнике широко распространены энергетические установки, в которых преобразование энергии осуществляется в движущемся газе. Такие процессы происходят в турбинах, реактивных двигателях, лопаточных и струйных компрессорах и т.п.

Рассмотрим уравнения термодинамики для стационарного одномерного потока идеального газа.

Для газового потока в любом сечении справедливо уравнение состояния, записанное через плотность:

p = ρRT, (4.1)

где p – давление в рассматриваемом сечении;

ρ – плотность газа в этом сечении;

R – газовая постоянная;

T – термодинамическая температура (температура, которую покажет в данном сечении безинерционный термометр, перемещающийся со скоро-стью газового потока).

В термодинамике величину скорости потока газа обозначают с и измеряют в м/с. Часто с целью количественной оценки величины скорости потока ее сравнивают со скоростью распространения слабых возмущений в среде газа. При выведении газа из равновесия в каком-либо месте в нем возникает движение частиц. Эти возмущения передаются по всему газу (подвижному и неподвижному) с так называемой с к о р о с т ь ю з в у к а. Скорость звука обозначается a, измеряется в м/с и вычисляется по известной из физики формуле:

. (4.2)

Если c <, то поток дозвуковой, приc> – сверхзвуковой.

4.1.1. Уравнение энергии

В движущемся газе выделим сечениями 1-1 и 2-2, Рис. 4.1, участок потока.

Рис.4.1

На основании первого закона термодинамики для энергоизолирован- ного потока (данная система не обменивается теплотой и работой с окружающей средой) можем записать Е₁ = Е₂. Отсюда для m = 1кг газа уравнение (1.7) в сечениях потока будет иметь вид:

= .

Это означает, что для любого сечения потока газа сумма энтальпии и кинетической энергии одинакова, т.е.

. (4.3)

Выражение (4.3) называют у р а в н е н и е м э н е р г и и потока газа. Из него следует, что изменить скорость газа в потоке можно лишь только за счет изменения энтальпии.

Уравнение энергии можно записать в другом виде. Продифференцируем выражение (4.3) и получим: cdc = - di. Из первого закона термодинамики, записанного в виде dq = di -vdp, при dq = 0 следует, что di = vdp. Тогда

c dc = - v dp. (4.4)

Выражение (4.4) приписывают Д. Бернулли, поэтому в технической литературе его называют у р а в н е н и е м Б е р н у л л и.

Это уравнение устанавливает связь скорости с давлением. Из него следует, что для увеличения скорости (dc > 0) необходимо снижение давления (dp < 0) и наоборот.

4.1.2. Параметры торможения

Если на пути движущегося газа поставить преграду, то в сечении, где поток полностью затормозится (c = 0), параметры газа называют п а р а -

м е т р а м и т о р м о ж е н и я. Их обозначают p₀ , T₀ , ρ₀ . Для замкнутого объема с неподвижным газом, параметры газа соответствуют параметрам торможения.

Определим параметры торможения движущегося газа. Для этого запишем уравнение энергии для двух сечений: в одном газ движется со скоростью c, а в другом – поток заторможен:

i +.

Выразим энтальпию газа через теплоемкость и температуру:

.

Из этого выражения определим температуру торможения:

,

Так как и, то:

,

где – "местная" скорость звука (в сечении с температуройT).

Отношение обозначают через М_а и именуют числом Маха.

В окончательном виде формула температуры торможения имеет вид:

. (4.5)

Используя адиабатную связь между температурой и давлением, получим формулу для давления торможения:

. (4.6)

Плотность ρ₀ определяется по p₀ и T₀ из уравнения (4.1).

4.1.3. Уравнение скорости движения газа

Уравнение скорости движения газа в произвольном сечении потока получим из уравнения энергии. Пусть газ вытекает из емкости, где его скорость была равна нулю. Тогда уравнение энергии для произвольного сечения потока газа и для сечения, где c = 0, будет иметь вид:

.

Отсюда

c = = .

Если отношение температур заменить отношением давлений, то

c= . (4.7)

Из выражения (4.7) следует, что величина скорости газа в рассматриваемом сечении потока зависит от природы газа, от параметров в его исходном (заторможенном) состоянии и от давления газа в рассматриваемом сечении.

4.1.4. Уравнение расхода

Термодинамика газового потока в основном рассматривает стационарное движение газа. Это означает, что через все сечения канала в любой момент времени протекает одно и то же массовое количество газа. Обозначается секундный массовый расход , который измеряется в кг/с. Уравнение для вычисления секундного массового расхода выводится в дисциплине “Газовая динамика”. Оно имеет вид:

. (4.8)

Выразим секундный массовый расход через параметры заторможенного газового потока, для чего в выражение (4.8) вместо c подставим его значение (4.7), а плотность представим в виде

.

Тогда

(4.9)