Фізика (Чоплан П.П

лютно чорного тіла в цій спектральній області. Із співвідношення (13.3) можна дістати ще один висновок: якщо тіло не поглинає хвиль певної ДОВЖИНИ, ТО ВОНО І не випромінює ЇХ. Справді, Εχ т= ΑχγΓχγ, тому при Αχ т= 0 І Εχ τ =0.

13.2. Закони випромінювання абсолютно чорного тіла

У багатьох випадках потрібно знати не лише спектральну густи­ ну випромінювання тіла (випромінювальну здатність), а й енергію, що випромінюється одиницею поверхні тіла за одиницю часу по всіх довжинах хвиль. Цю величину називають інтегральною випроміню­ вальною здатністю, або енергетичною світністю тіла. Позначимо інтегральну випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла за певної температури через Rp. Щоб її обчислити, скористаємося співвідношенням

(13.4)

0

де Γχ τ — випромінювальна здатність, у певному спектральному інтер­ валі є функцією довжини хвилі й температури, а Луг — функцією тільки температури.

Знайти аналітичний вираз функції Γχ Т досить важко. Значно простіше визначити інтегральну випромінювальну здатність абсолют­ но чорного тіла, тобто Rp. Для функції Γχ т порівняно просто визна­ чити деякі важливі властивості. Для інтегральної випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла австрійські фізики Й. Стефан (екс­ периментально 1879 р.) і JI. Больцман (теоретично 1884 р.) сформу­ лювали вираз, який називають законом Стефана— Больцмана:

де Т — абсолютна температура випромінювального тіла; σ — стала Стефана — Больцмана. Отже, закон Стефана — Больцмана можна сформулювати так: інтегральна випромінювальна здатність абсо­ лютно чорного тіла пропорційна четвертому степеню його абсолют­ ної температури. На основі численних дослідів доведено, що коефі­ цієнт пропорційності σ = 5,67 · ΙΟ-8 Β τ · μ "2 К-4.

Закон Стефана — Больцмана має велике значення, оскільки за високих температур випромінювання деяких тіл наближається до випромінювання абсолютно чорного тіла. Проте слід пам’ятати, що в загальному випадку закон Стефана — Больцмана не може бути застосованим до тіл, які не є абсолютно чорними, оскільки для та­ ких тіл, як показує досвід, зі зміною температури змінюється і кое­ фіцієнт σ, і показник степеня при температурі.

308

Закон Стефана — Больцмана стосується лише інтегральної вип­ ромінювальної здатності абсолютно чорного тіла і не дає ніяких відо­ мостей про спектральний розподіл енергії. Проте такий розподіл існує і, як довели експериментальні дослідження, проходить через макси­ мум. Виходячи з теоретичних міркувань, німецький фізик В. Він 1893 р. встановив важливий закон, що визначає положення цього максимуму в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла за­ лежно від абсолютної температури. Аналітично цей закон можна записати так:

де Хт — довжина хвилі, яка відповідає максимуму випромінюваль­ ної здатності абсолютно чорного тіла; Т — його абсолютна темпера­ тура; b — стала Віна, яка дорівнює 2,898-1СГ3 м -К. Отже, за зако­ ном зміщення Віна довжина хвилі, яка відповідає максимуму випро­ мінювальної здатності абсолютно чорного тіла, обернено пропорцій­ на абсолютній температурі.

Величина максимуму г™г , як показали вимірювання, прямо про­ порційна п’ятому степеню’абсолютної температури. Цю залежність називають ще третім законом випромінювання абсолютно чорного тіла. На рис. 13.1 зображено криві розподілу енергії в спектрі абсо­ лютно чорного тіла за довжинами хвиль для двох температур Т± і Т2, причому Т2 > Тр Площа під кожною з цих кривих розподілу виз­ начає сумарну енергію Rp усіх довжин хвиль, що випромінюється одиницею поверхні абсолютно чорного тіла за 1 с. Із рис. 13.1 видно, що сумарна енергія збільшується з підвищенням температури, а мак­ симум випромінювання зміщується в бік коротких хвиль. Кожній температурі відповідає певна довжина хвилі Хт з максимальним значенням / f r .

На законі Віна ґрунтується так звана оптична пірометрія — ме­ тод визначення температури розжарених тіл за їхніми спектрами випромінювання. Саме таким методом було вперше визначено температуру поверхні Сонця. Розподіл енергії в спектрі випромі­ нювання Сонця подібний до випромінюван­ ня абсолютно чорного тіла (якщо йдеться про випромінювання ядра Сонця, а не його поверхні). Максимум енергії випромінюван­ ня припадає на довжину хвилі Хт = 470 нм.

Отже, температура поверхні Сонця, за за­ коном зміщення Віна, має дорівнювати 6160 К. Для тіл, що не є абсолютно чорни­ ми, цей метод не дає справжнього значен­ ня температури.

309

13.3. «Ультрафіолетова катастрофа»

Першу спробу теоретично обґрунтувати розподіл енергії в спектрі абсолютно чорного тіла зробив російський фізик В. О. Міхельсон. Він же вивів формулу для розподілу енергії. Зробивши деякі припу­ щення про механізм випромінювання, німецький фізик В. Він знай­ шов аналітичний вигляд функції розподілу енергії в спектрі абсо­ лютно чорного тіла:

де а і b —сталі величини. Формулу (13.7) називають формулою Віна. Вона справедлива лише для лівої частини експериментальної кривої

уявлень про рівномірний розподіл енергії за степенями вільності і не роблячи жодних припущень про механізм випромінювання, дістали таку формулу для функції розподілу енергії в спектрі випроміню­ вання абсолютно чорного тіла:

де с — швидкість світла у вакуумі; k — стала Больцмана; Т — абсо­ лютна температура. Формула Релея — Джинса добре узгоджується з експериментальними даними в інтервалі довгих хвиль. Проте в інтер­ валі малих довжин хвиль вона різко розходиться з експериментом: зі зменшенням довжини хвилі випромінювальна здатність абсолют­ но чорного тіла не зростає до нескінченності, як це випливає із фор­ мули (13.8), а, навпаки, зменшується до нуля. На рис. 13.1 штрихо­ вою лінією зображено теоретичну криву Релея — Джинса. Крім того, формула Релея — Джинса приводить до абсурдного висновку при обчисленні інтегральної випромінювальної здатності абсолютно чор­ ного тіла. В цьому легко переконатись, якщо зінтегрувати вираз (13.8) по λ:

Отже, інтегральна випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла, виходячи з формули Релея — Джинса, має бути нескінченно великою. Тим часом за законом Стефана — Больцмана, який добре узгоджується з дослідом, Rp пропорційна четвертому степеню абсо­ лютної температури, тобто є скінченною величиною.

Роботи Релея і Джинса засвідчили, що послідовне застосування класичної фізики до дослідження спектрального складу випроміню­ вання абсолютно чорного тіла дає абсурдні результати. Критичний

310

стан, що виник у проблемі теплового випромінювання абсолютно чорного тіла, дістав образну назву «ультрафіолетової катастрофи». Така назва пов’язана з тим, що формула Релея — Джинса, яку виве­ дено, виходячи із класичних уявлень, не узгоджується з експери­ ментом в інтервалі малих (ультрафіолетових) довжин хвиль (див. рис. 13.1). Вихід із «катастрофи» виявився під силу лише сучасній фізиці з якісно новими уявленнями про природу випромінювання.

13.4. Гіпотеза Планка. Формула Планка

Усі спроби вивести правильну формулу для розподілу енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла, виходячи з уявлень про атоми як класичні осцилятори, виявилися марними. Немож­ ливість пояснити випромінювання абсолютно чорного тіла, користую­ чись арсеналом класичної фізики, було «катастрофою» для неї.

Наприкінці XIX ст. серед багатьох фізиків панувало відчуття доско­ налості й завершеності фізичної теорії. Щоправда, видатний англій­ ський фізик В. Томсон вказував на негативний результат досліду А. Майкельсона і на неможливість пояснити випромінювання абсо­ лютно чорного тіла законами класичної фізики. Як відомо, дослід Майкельсона став пізніше експериментальною основою спеціальної теорії відносності Ейнштейна, а неможливість пояснити розподіл енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла законами класичної фізики привела до виникнення квантової механіки.

Першим відмовився від класичних уявлень при вирішенні про­ блеми випромінювання абсолютно чорного тіла М. Планк (1858— 1947). У 1900 р. він запропонував принципово новий метод розрахунку функції Γχ гр, який ґрунтується на квантових уявленнях. В основу методу було покладено гіпотезу про те, що тіла випромінюють енер­ гію не неперервно, а окремими порціями, які дістали назву квантів. Енергія ε кванта пропорційна частоті випромінювання (обернено пропорційна довжині хвилі):

де h = 6,626 · ІО-34 Дж · с — стала Планка. В механіці величину, що має розмірність добутку енергії на час, називають дією. У зв’язку з цим сталу Планка іноді називають квантом дії. Нові уявлення Планка про кванти енергії докорінно змінили погляди фізиків на елемен­ тарні процеси випромінювання світла, а також на всі інші процеси в мікросвіті. Так виникла нова епоха у вченні про будову матерії та її

рух.

Керуючись уявленнями про квантовий характер теплового випро­ мінювання, М. Планк дістав такий вираз для випромінювальної здат-

311

де с — швидкість світла у вакуумі; к — стала Больцмана; Т — абсо­ лютна температура; е — основа натуральних логарифмів.

Згідно з формулою Планка (13.11) для кожної довжини хвилі λ з підвищенням температури зменшується величина ehc^k^T, що стоїть у знаменнику, а Γλ т зростає. Отже, з підвищенням температури збільшується випромінювальна здатність на всіх ділянках спектра, причому це зростання різне для різних інтервалів довжин хвиль. Саме така залежність т від температури спостерігається на досліді.

Розглянемо граничні випадки формули Планка. В інтервалі дуже довгих хвиль ( λ —»оо) енергія окремого кванта s = hv = hc/X мала

he

порівняно з енергією теплового руху кТ. У цьому випадку —г— —» 0

КАш1

і величину ehcl k^T можна розкласти в ряд ehc^k^T = 1 + кКІ + ....

Якщо врахувати лише два перші члени розкладу, нехтуючи останні­ ми, то формула Планка (13.11) перетвориться у формулу Релея — Джинса (13.8). У другому граничному випадку дуже коротких хвиль

he

( λ —> 0 ) ■■■ » 1, і в знаменнику (13.11) можна знехтувати одини-

кКТ

цею порівняно з першим членом. Тоді формула Планка зводитиметься

до формули Віна (13.7), яка добре опише ділянку спектра в інтер­ валі малих довжин хвиль.

На відміну від формули Віна і Релея — Джинса формула Планка добре узгоджується з експериментом в усьому інтервалі довжин хвиль і за всіх температур. При інтегруванні за всіма довжинами хвиль із формули Планка можна дістати закон Стефана — Больцмана, а не нескінченність, як це було у випадку формули Релея — Джинса.

Нарешті, за правилами відшукання максимуму функції із форму­ ли Планка звичайними методами диференціального числення мож­ на вивести закон зміщення Віна. Завдяки формулі Планка можна визначити також усі інші закономірності випромінювання абсолют­ но чорного тіла.

Слід зазначити, що, виходячи із формули Планка для випроміню­ вальної здатності абсолютно чорного тіла, можна дістати не лише зовнішню форму відповідного закону, а й визначити сталу Стефана — Больцмана σ і сталу закону зміщення Віна Ьчерез універсальні сталі /і, А, с тощо. Обчислені таким чином сталі σ і Ь збігаються з їхнім емпіричним значенням. Усе це приводить до висновку, що формула Планка найбільш повно характеризує теплове випромінювання.

312

Формула Планка має велике значення не тільки в теорії теплово­ го випромінювання, а й в установленні сучасних поглядів на будову матерії та її рух.

13.5. Зовнішній фотоефект. Закони Столєтова. Закон Ейнштейна

При поглинанні світлової енергії тілами частина енергії перетво­ рюється в електричну енергію, внаслідок чого в тілах може виника­ ти або електрорушійна сила, або електричний струм, або зміна елек­ тричного опору тіл. Усі явища такого роду дістали назву фотоелек­ тричного ефекту, або фотоефекту. Явище фотоефекту відкрив Г. Герц 1887 р. і дослідив російський фізик 0. Г. Столєтов. Щоправда, вони вивчали так званий зовнішній фотоелектричний ефект, при якому падаюче світло вибиває з поверхні металу електрони.

Для спостереження зовнішнього фотоефекту і вивчення його за­ конів використовують схему, зображену на рис. 13.2. Металева пла­ стинка Р (катод) під’єднана до негативного полюса батареї Е, другий її полюс з’єднаний через реостат (потенціометр) К і гальванометр G з пластинкою N (анодом). Обидві пластинки Р і N вміщено в балон, з якого викачано повітря, щоб зіткнення електронів із молекулами газу не спотворювали спостережувані явища, а також щоб запобігти окисненню пластинок Р iN. Оскільки таке електричне коло розімкнене, струму в ньому немає. При освітленні пластинки Р через кварцо­ ве віконце (кварцове скло прозоре для оптичного випромінювання) з неї вивільнюються електрони (фотоелектрони), які попадають в елек­ тричне поле між Р і N. Напругу між Р і N можна змінювати пере­ міщенням повзунка реостата К.

Якщо поле досить сильне і напрям­ лене так, що електрони переміщу­ ються від Р до N, то вибиті елек­ трони з пластинки Р досягнуть плас­ тинки N, і через гальванометр буде проходити фотострум, який визна­ чається числом електронів, що до­ сягають пластинки N за одиницю часу. При збільшенні зовнішньої напруги, прикладеної до фотоеле­ мента, фотострум зростає і досягає при заданому освітленні макси­ мального значення Js, яке назива­ ють струмом насичення. Струм насичення Is — це такий фото­ струм, коли всі фотоелектрони, вибиті світлом із пластинки Р, до-

313

сягнуть пластинки N. Залежність сили електричного струму (фотоструму) від зов­ нішньої напруги (вольт-амперна характе­ ристика фотоструму) показано на рис. 13.3. Якщо зовнішня напруга прикладена у зворотному напрямі (порівняно з пока­ заним на рис. 13.3), фотострум змен­ шується і за певної напруги Ur дорів­ нюватиме нулю.

Рис. 13.3 Нехай швидкість вибитого електрона дорівнює υ, його маса т і заряд е. Тоді кінетична енергія цього електрона буде ти2/ 2. Із такою кінетичною

енергією електрон може пролетіти через гальмівне поле, утворене

2

різницею потенціалів £/, якщо eU менше або дорівнює —— . Визна-

чивши те найменше значення Ur, яке затримує електрони, вивіль­ нені світлом, знайдемо швидкість цих електронів за умови

Дослідження фотоелектричних явищ привели О. Г. Столєтова до встановлення таких законів фотоефекту:

1.Фотострум насичення Is (максимальне число електронів, що вивільнюються світлом за 1 с) прямо пропорційний світловому по­ току, що падає на катод.

2.Максимальна початкова швидкість фотоелектронів визна­ чається частотою падаючого світла і не залежить від його інтен­ сивностіі.

Проведені дослідження довели, що для кожного металу існує міні­ мальна частота (максимальна довжина хвилі), при якій швидкість фотоелектрона дорівнює нулю. Цю частоту (довжину хвилі) назива­ ють червоною межею фотоефекту. Світло, що має частоту, меншу за червону межу для певного металу, не може вивільнювати з нього фотоелектронів. У цьому разі фотострум у колі не виникатиме при будь-якій інтенсивності падаючого світла. Для прикладу наведемо значення червоної межі для деяких металів: для Li — 500 нм, Na — 540 нм, К — 550 нм, Hg — 273,5 нм, Fe — 262 нм, Ag — 261 нм, Аи — 265 нм. Отже, незалежно від інтенсивності падаючого світла фотоефект виникає тільки при певному значенні довжини хвилі світла, яка є меншою за червону межу для певного металу, а число вивільнених електронів при заданій довжині хвилі визначається інтенсивністю світла.

Виходячи з уявлень хвильової теорії світла, яка панувала в XIX ст.

ірозглядала світло як неперервний хвильовий процес, ці особли­

314

вості фотоефекту не можна пояснити. Якщо електромагнітна (світло­ ва) хвиля падає на метал, то амплітуда коливань електрона має бути пропорційною амплітуді електричного вектора світлової хвилі, а отже, й інтенсивності падаючого світла, оскільки вона пропорційна квад­ рату амплітуди електричного вектора. Тоді при будь-якій довжині хвилі, якщо світло має досить велику інтенсивність, можна чекати вивільнення електронів із металу, і, як наслідок, червоної межі фото­ ефекту не існуватиме. До того ж з погляду хвильової теорії кінетич­ на енергія фотоелектронів залежить від інтенсивності світла, оскіль­ ки зі збільшенням інтенсивності електрона передається більша енер­ гія. Тоді і швидкість фотоелектронів має збільшуватись зі збіль­ шенням інтенсивності падаючого світла, що суперечить закону Столєтова.

Ґрунтуючись на гіпотезі Планка про кванти, А. Ейнштейн 1905 р. висунув квантову теорію фотоефекту. На відміну від Планка, який вважав, що світло випромінюється квантами і розглядав цей факт як властивість випромінювальних систем, А. Ейнштейн поширив кор­ пускулярні властивості безпосередньо на випромінювання. Він при­ пустив, що світло не тільки випромінюється, а й поширюється і по­ глинається окремими неподільними порціями — квантами. Кван­ ти є частинками з нульовою масою, які рухаються у вакуумі зі швид­ кістю 299 792 км/с. Згодом ці частинки дістали назву фотонів. Про­ те існування фотонів — квантів світла — не випливає із існування неподільних порцій випромінювання.

Ідея квантів була настільки незвичайною, що сам автор її трива­ лий час розглядав кванти як допоміжний математичний метод. Тому не дивно, що теорія фотонів з її парадоксальним поєднанням хвильо­ вих і корпускулярних властивостей світла, що виключають одна одну, протягом довгого часу не мала визнання. У 1912 р. у рекомендації, підписаній найвидатнішими німецькими фізиками, в тому числі М. Планком, про обрання А. Ейнштейна до Пруської академії наук йшлося про гіпотезу світлових квантів: «Те, що він у своїх мірку­ ваннях інколи виходить за межі, як, наприклад, у своїй гіпотезі світлових квантів, не слід занадто сильно ставити йому в докір. Не наважившись піти на ризик, не можна здійснити істинно нового, навіть в самому точному природознавстві»*.

Із теорії фотонів випливає, що світло не лише поглинається і ви­ промінюється неподільними частинками, а й у проміжку між випро­ мінюванням і поглинанням складається із неподільних частинок, які несуть тим більшу енергію, чим більша частота електромагніт­ них коливань. Енергія частинок (квантів) світла — фотонів — про­ порційна частоті й для світла певної частоти (монохроматичного) становить певну величину ε0 = hv> дeh — стала Планка.

*Кузнецов Б. Г. Зйнштейн. — М.: Изд-во AH СССР, 1963. — С. 127— 128.

315

Корпускулярна структура світла виявляється в багатьох експери­ ментах. Особливо яскраво і переконливо підтверджується існування фотонів явищами фотоелектричного ефекту. Виходячи з того, що світло складається з фотонів, енергія яких hv9розглянемо зіткнення такого фотона з електроном у металі, під час якого він передає свою енергію електрону. Якщо ця енергія більша за роботу виходу електрона (Λν > Авих ), то електрон вилетить із металу. Якщо hv < Авих, то при довільній інтенсивності потоку фотонів електрони при зіткненні з ними не набудуть енергії, достатньої для подолання потенціального бар’єра (імовірність одночасного зіткнення електрона з кількома фотонами мізерна і тому не береться до уваги). При такому підході червона межа фотоефекту пояснюється просто. А. Ейнштейн не лише дав якісне пояснення фотоефекту, а й виконав точний кількісний аналіз і вста­ новив закон фотоефекту, який блискуче підтвердився на досліді:

де hv — енергія фотона, яка витрачається на роботу виходу електрона Авих та на надання йому кінетичної енергії тио /2 . Робота вихо­ ду електрона дорівнює найменшій енергії, яку треба надати електро­ ну провідності, щоб він міг вийти з металу у вакуумі. Значення ро­ боти виходу залежить від природи металу і змінюється в межах (1,8...8,5)· 10- 19Дж. Співвідношення (13.13) називають законом Ейнштейна для фотоефекту.

Із рівняння (13.13) видно, що коли максимальна швидкість фото­ електронів дорівнює нулю, то енергія фотона повністю йде на роботу виходу електрона hv0 = АВИХ, що відповідає червоній межі фото­ ефекту. Тоді вираз (13.13) можна переписати так:

Звідси легко визначити, що червоній межі фотоефекту відповіда­ тиме частота світла ν = ν0, а фотоефект для певного металу буде для всіх частот ν > ν 0. Максимальна початкова швидкість фотоелект­ ронів буде тим більшою, чим менша довжина хвилі падаючого світла.

Отже, існування електромагнітних хвиль і хвильову природу світла не можна не визнати. Водночас не можна спростувати і корпуску­ лярну природу світла і той факт, що світло складається з фотонів. Ця суперечність поєднання хвильових і корпускулярних властивостей світла дуже характерна для наукових ідей А. Ейнштейна. Він вва­ жав, що світло насправді має хвильові й корпускулярні властивості. А. Ейнштейн урахував суперечності, які відкидали класичні уяв­ лення про частинки, для яких не характерні хвильові властивості, та про хвилі, яким не характерна корпускулярна природа.

316

13.6.Досліди Йоффе і Добронравова

У1922 р. А. Ф. Йоффе і Μ. І. Добронравов виконали спеціальні досліди з елементарного фотоефекту, якими було експериментально підтверджено поширення випромінювання у вигляді окремих фотонів та квантовий характер взаємодії випромінювання з речовиною. Схе­

му установки зображено на рис. 13.4. У товстій ебонітовій пластинці було зроблено порожнину, з якої відкачували повітря. Ця порожнина відігравала роль мініатюрної рентгенівської трубки. Катодом було вістря тоненької алюмінієвої дротинки Я, яке освітлювалось ультра­ фіолетовим промінням крізь кварцове віконце L. Між алюмінієвою дротиною К і пластиною А (алюмінієва фольга), що є антикатодом рентгенівської трубки, створювалась різниця потенціалів близько 1200 В. Освітлення добиралось настільки малим, щоб із катода К ви­ вільнювалось близько 1000 електронів за секунду. Ці електрони при­ скорювались полем високої напруги і, зіткнувшись з пластинкою А, різко гальмувались, випромінюючи рентгенівське випромінювання. При цьому з антикатода А випромінювалось близько п = 1000 рент­ генівських імпульсів за секунду. Алюмінієва пластинка А завтовшки близько 5 · 10“ м і друга паралельна їй пластинка В були обкладка­ ми плоского конденсатора, в електричному полі якого в завислому стані містилась на відстані d = 2 · 10-4 м від антикатода А заряджена вісмутова порошинка N, радіус якої близько 3-Ю - м. Рентгенів­ ське випромінювання внаслідок фотоефекту звільняло з порошинки електрон і змінювало її заряд, тому порошинка втрачала рівновагу. Втрата електрона відбувалась за різні проміжки часу, але середній проміжок часу виявився таким, що дорівнює ЗО хв. Незалежні спосте­ реження показали, що електрон, звільнений з порошинки, несе з собою всю енергію одиничного рентгенівського кванта, що падає на нього.

З погляду хвильових уявлень про характер електромагнітного ви­ промінювання результати дослідів Йоффе і Добронравова пояснити

317