22) Означення ймовірності та її властивості

Ймові́рність — числова характеристика можливості того, що випадкова подія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Імовірність є основним поняттям розділу математики, що називається теорія імовірностей.

Випадковою подією називається подія, результат якої не може бути відомий наперед. Навіть у тому разі, коли насправді подія детермінована своїми передумовами, вплив цих передумов може бути настільки складним, що вивести з них наслідок логічно й послідовно, неможливо.

Основні властивості ймовірності

1. Ймовірність будь-якої події А задовольняє умову: .

2. Ймовірність достовірної події, тобто такої, яка внаслідок даного випробування обов’язково відбудеться, дорівнює одиниці. Ймовірність неможливої події, тобто такої, яка внаслідок даного випробування не може відбутися, дорівнює нулю.

3. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Протилежними називають такі події, з яких одна і тільки одна настає у даному випробуванні.

4. Якщо внаслідок випробування настає одна і лише одна з подій то ці події протилежні одна до одної .

5. Ймовірність суми двох несумісних подій, тобто таких, що не можуть відбутися одночасно, дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто ( і – події несумісні).

23. Основні формули комбінаторики

Комбінаторика  — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай, скінченної множини відповідно до заданих правил. 

 елементами комбінаторики є  перестановка, розміщення та комбінація. 

Розміщенням з n елементів по k елементів називають будь-яку впорядковану k-елементну підмножину множини x.

де   - кількість розміщень з  n  по  k.

Перестановка з  п- елементів - розміщення з  п  по  п.    , де Р_п- кількість перестановок з п елементів.

Сполукою (комбінацію)з п елементів по k елементів називають будь-яку  k - елементну підмножину множини x. Сполуки часто називають вибірками з пелементів по k елементів  без врахування порядку.

- кількість сполук з  п  по  k

24. Теорема додавання ймовірностей.

Сумою подій А і В називається подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробовування або події А, або події В, або обох разом.

Враховуючи означення суми двох подій і поняття несумісних подій, зауважимо, що сумою С двох несумісних подій А і В є подія, яка полягає в здійсненні або події А, або події В. Одночасна поява подій А і В виключена.

Теорема. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто

25.Теорема множення ймовірностей.

Добутком двох подій А і В називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробовування й події А, і події В.

Подія А називається від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулась чи ні подія В.

Дві події А та В називають залежними, якщо ймовірність настання однієї з них залежить від того, настала друга подія чи ні.

Умовною ймовірністю РА(В) події В називається ймовірність події В, знайдена в припущенні, що подія А вже настала.

З означення назалежних подій випливає, що настання однієї з них не змінює ймовірності настання другої. Тому для незалежних подій справджуються рівності:

Отже, умовні ймовірності незалежних подій дорівнюють їх безумовним імовірностям.