17. Застосування степеневих рядів

1. обчислення значень функцій

Нехай потрібно обчислити значення функції f(x) при х = х1 із заданою точністю

Якщо функцію f(x) в інтервалі (-R; R) можна розкласти у степеневий ряд f(x) = +++… ++ … і(-R; R), то точне значення f(x1) дорівнює сумі ряду при х = х1, тобто f(x) =+++ … ++ …., а наближене - частковій сумі() тобто f(x)() =--+ …+.

Точність цієї рівності збільшується із зростанням n.

2. обчислення визначених інтегралів

Степеневі ряди застосовуються також для наближеного обчислення невизначених і визначених інтегралів у випадках, коли первісна не виражається в кінцевому вигляді через елементарні функції або знаходження первісної складне. Нехай треба обчислити з точністю до Якщо підінтегральну функцію можна розкласти у ряд за степенями х і інтервал збіжності (-R, R) містить відрізок інтегрування, то для обчислення заданого інтеграла можна скористатися властивістю почленного інтегрування цього ряду. Помилку обчислень визначають так само, як і при обчисленні значень функцій.

3. розв’язання диференціальних рівнянь

Якщо розв’язок диференціального рівняння не виражається через елементарні функції в кінцевому вигляді або спосіб його розв’язання складний, то для наближеного розв’язання рівняння можна скористатися рядом Тейлора. Спосіб послідовного диференціювання застосовується для розв’язанняння диференціальних рівнянь будь-якого порядку.

18. Поняття про випадкові події. Простір елементарних подій

Випадкова подія — подія, яка при заданих умовах може як відбутись, так і не відбутись, при чому існує визначена ймовірність p (0 ≤ p ≤ 1) того, що вона відбудеться при заданих умовах. Випадкова подія є підмножиною простору елементарних подій. Те, що випадкова подія має деяку ймовірність проявляється в поведінці її частоти: якщо вказані умови повторити N раз, то подія А выдбудеться при цьому (A) раз, то частота (A) = реалізації подіїA при великих N стає близькою до P. Подія може вважатися випадковою лише коли вона може повторитись довільну кількість разів. Кожному випадковому експерименту ставлять у відповідність множину елементарних подій, яка зветься простором елементарних подій і позначається W або Ω, також S. Кожна подія ототожнюється з деякою підмножиною простору елементарних подій. Зокрема, вірогідній події відповідає весь простір елементарних подій, неможливій події ? - пуста підмножина. Підмножини й події, що їм відповідають, позначаються однією і тією ж літерою. Якщо кожна з елементарних подій w1,w2, w3, … така, що А, (і = 1,2, …) і нема інших елементарних подій з такою властивістю, пишуть А = {w1,w2,w3, ...}. Вибір форми зображення простору елементарних подій залежить від контексту й міркувань зручності. Таким чином, для опису випадкових подій: наслідків експерименту - застосовують такі точні поняття: елементарні та складені випадкові події, простір елементарних подій. Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається елементарною випадковою подією. Елементарні випадкові подіїА), які належать відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій унаслідок проведення експерименту (тобто сприяють появі події А. Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множинаW, елементарних подій {w1, w2, w3, ..., wі,…} (простір елементарних подій), кожна з яких може відбутися (настати) унаслідок його проведення.