Тема 3. Визначники

3. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВИЗНАЧНИКІВ

Визначники використовують майже в усіх розділах та у багатьох застосуваннях математики. За допомогою визначника матриці визначають

правило складання математичного виразу з елементів упорядкованої множини, записаної у вигляді матриці.

Визначники використовують для скороченого запису загальних формул обчислення розв’язків системи лінійних рівнянь.

У XVII ст. німецький математик Лейбніц вперше використав систему подвійних індексів для запису коефіцієнтів системи лінійних рівнянь. Введення подвійних індексів сам Лейбніц вважав за відкриття, оскільки це дозволило впорядкувати множину коефіцієнтів при невідомих у системі лінійних рівнянь.

Розглянемо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими х та у, записану у загальному вигляді:

a11x a12 y b1,a21x a22 y b2.

Коефіцієнти при невідомих a11, a12 , a21 , a22 належать множині

дійсних чисел.

Розв’яжемо систему методом виключення невідомих.

1.Виключимо невідоме у, зрівнявши коефіцієнти при невідомому в обох рівняннях.

Для цього помножимо перше рівняння на a22 , а друге рівняння на a12

івіднімемо від першого рівняння друге:

a11 a22x a12 a22 y b1 a22

Знайдемо х.

Розв'язок існує, якщо коефіцієнт при невідомому х не дорівнює нулю:

a11 a22 a12 a21 0 .

Поділимо рівняння на коефіцієнт при невідомому х:

2.Аналогічно виключимо невідоме х, зрівнявши коефіцієнти при невідомому в обох рівняннях.

Помножимо перше рівняння на a21 , а друге рівняння на a11 і віднімемо

від другого рівняння перше:

1

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

y a11 a22 a12 a21 b2 a11 b1 a21.

Знайдемо у.

Розв'язок існує, якщо коефіцієнт при невідомому у не дорівнює нулю:

a11 a22 a12 a21 0 .

Поділимо рівняння на коефіцієнт при невідомому у:

Складемо матрицю А з коефіцієнтів при невідомих, вектор-стовпець Х з самих невідомих і вектор-стовпець В з чисел вільних від невідомих:

Постає питання, чи можна встановити загальне правило обчислення чисельників і знаменника при знаходженні розв'язку системи лінійних рівнянь. Таке правило можна записати у вигляді:

ввівши поняття визначника.

Базові поняття, які вводяться при вивченні теми: визначники, мінори, алгебраїчні доповнення, визначник трикутної матриці, визначник діагональної матриці, вироджені та невироджені матриці.

3.1. Визначник матриці

Із елементів квадратної матриці за певними правилами можна

утворити алгебраїчні суми, які будемо називати визначниками.

Якщо елементи матриці не є числами, тоді визначник відповідає деякому

математичному виразу. У цьому випадку визначники можна використовувати

для скороченого запису рівнянь, обчислення координат векторів тощо.

2

Означення. Визначником (детермінантом) квадратної матриці А,

елементами якої є числа, називають число, яке обчислене за певним правилом за елементами цієї матриці.

Зауваження. Правило обчислення визначників залежить від розмірності (порядку) визначника.

Порядок п визначника відповідає кількості рядків (стовпців) квадратної

що і відрізняє визначник від матриці при їх записі.

Означення. Виродженою називають матрицю, визначник якої дорівнює нулю 0 .

Означення. Невиродженою називають матрицю, визначник якої не дорівнює нулю 0 .

3.2. Правила обчислення визначників

Розглянемо правило утворення доданків у алгебраїчних сумах при обчисленні визначників.

Зауваження. Правило обчислення визначника ІІ-го порядку співпадає з формулою обчислення знаменників у розв'язках системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими, знайдених при розв’язанні системи методом виключення невідомих.

3

Розв’язання

Скористаємося правилом обчислення визначників 3-го порядку:

алгебраїчну суму всіх можливих добутків по п різних елементів цієї матриці:

Кількість таких добутків дорівнює n!. Знаки добутків обирають за певним правилом у відповідності з парністю перестановки індексів (р).

3.3. Властивості визначників

Визначник має ряд властивостей, які лежать в основі практичних способів їх обчислення. Всі властивості проілюструємо на прикладах. Зауваження. Всі властивості визначників, які сформульовані відносно рядків

Всі інші добутки містять хоча б один нульовий множник.

5

Приклад 4

визначників.

Розв’язання

Розкладемо визначник на суму двох визначників:

6

Обчислимо початковий визначник:

Обчислимо окремо кожен з визначників, одержаних при розкладанні:

Знайдемо суму визначників і порівняємо її з початковим визначником: 51 + 33 = 84.

Визначник дорівнює сумі двох визначників, на які він був розкладений. Властивість 4. Визначник матриці, яка є добутком двох квадратних

Розв’язання

Обчислимо добуток матриць:

Обчислимо визначники всіх трьох матриць:

C7 17 7 26 7 17 7 26 17 7 9 63;7 26

7

Дуже складно обчислювати визначники п-го порядку, використовуючи безпосередньо означення визначника, тобто кожен раз виписуючи n! відповідних добутків. Існують простіші способи обчислення визначників, які базуються на тому, що визначники порядку п можна виразити через визначники нижчого порядку n 1, тобто при обчисленнях понижувати порядок визначників.

Приклад 7

Показати, що визначник ІІІ-го порядку можна представити як алгебраїчну суму, складену із трьох доданків, які є добутками визначників ІІго порядку на відповідні елементи першого рядка матриці:

32 21 36 24 18 56 123.

визначників. Представимо елементи І-го рядка матриці у вигляді суми і розкладемо визначник на суму визначників

8

Обчислимо окремо кожен з визначників, одержаних при розкладанні: