Тема 11. Ранг матриці

11. РАНГ МАТРИЦІ Базові поняття, які вводяться при вивченні теми: ранг матриці, лінійна

комбінація рядків матриці, лінійна комбінація стовпців матриці.

11.1. Мінори та алгебраїчні доповнення елементів квадратної матриці

Викреслюють рядок і стовпець, у яких розміщений елемент aij .

Порядок мінору дорівнює порядку визначника, який йому відповідає. Порядок мінорів квадратної матриці An n змінюється в межах 1 k n.

Означення. Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij матриці An n

називають відповідний мінор, що має знак " + " або " –" :

Мінори прямокутної матриці An m формують аналогічно до формування

мінорів квадратної матриці.

Шляхом викреслювання рядків та стовпців у прямокутній матриці An m формують квадратну матрицю Ak k , визначник якої і є мінором прямокутної матриці An m . Порядок мінорів прямокутної матриці An m змінюється в межах 1 k min m,n .

Зауваження. Всі елементи матриці складають множину M1 мінорів першого порядку.

1

Розв’язання.

Утворимо множину мінорів M2 M 2i , які відповідають квадратним

матрицям A2i 2 , складеним з елементів матриці А. Розглянемо всі можливі квадратні матриці:

Обчислимо їх визначники, які відповідають мінорам другого порядку:

Означення. Рангом матриці А називають число r , що дорівнює порядку найбільшого відмінного від нуля мінору, який можна утворити з елементів матриці А.

Позначають ранг r r A , або r rank A , або r rang A.

Приклад 2

2

Власт ивіст ь 5. Ранг матриці не змінюється, якщо її помножити на не вироджену матрицю r A B r A , якщо det B 0 .

11.4. Умови, за яких визначник дорівнює нулю

Розглянемо умови, за яких квадратна матриця є виродженою. Твердження 1. Якщо один із рядків або стовпців квадратної матриці

дорівнює нулю, то її визначник дорівнює нулю:

Твердження 4. Якщо один із рядків (стовпців) квадратної матриці є лінійною комбінацією її інших рядків (стовпців), тобто його елементи мають вигляд:

am1 j , j 1, 2, ... , n – елементи рядка m1,

3

am 2 j ,..., am p j , – елементи відповідних рядків m2, ... , mp ,

то її визначник дорівнює нулю.

Розглянемо визначник матриці, у якої один із рядків є лінійною комбінацією і-того та j -го рядків матриці

Твердження 5. Елементарні перетворення квадратної матриці А, визначник якої не дорівнює нулю, не можуть перетворити її у матрицю В із визначником, що дорівнює нулю.

Приклад 3

Показати, що визначник матриці A3 3 , у якої співпадають другий і третій рядки, дорівнює нулю.

Розв’язання

Обчислимо визначник

1 2 3 4 5 6 1 5 6 4 5 3 2 6 4 4 5 3 4 2 6 5 6 1 0 . 4 5 6

Зауваження. Один із двох однакових рядків (стовпців) матриці можна шляхом її елементарних перетворень змінити на нульовий рядок (стовпець).

4

Розв’язання

а) Визначник матриці дорівнює нулю, якщо рядки матриці пропорційні:

5

Зауваження. Рядок (стовпець), який є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців) матриці можна перетворити на нульовий рядок (стовпець) шляхом її елементарних перетворень.

11.5. Ранг ступінчатої матриці

Розглянемо ступінчату матрицю розмірності m n , у якої кількість початкових нулів у попередньому (верхньому) рядку менша за кількість початкових нулів у наступних (нижніх) рядках, крім того частина нижніх рядків є нульовими

Із елементів такої матриці можна сформувати мінор порядку r , який не дорівнює нулю і є визначником верхньої трикутної матриці розмірності r r

містить хоча б один нульовий рядок, тобто дорівнює нулю.

Зауваження. Ранг ступінчатої матриці вказує кількість лінійно незалежних рядків, тобто рядків, які неможна записати як лінійну комбінацію інших рядків, виконуючи елементарні перетворення рядків матриці.

Твердження 6. Еквівалентні матриці мають однаковий ранг. Твердження 7. Елементарні перетворення матриці не змінюють її

ранг.

11.6. Способи знаходження рангу матриці.

Спосіб 1. Знаходження рангу матриці є дуже громіздким, якщо використовувати безпосередньо означення рангу.

Спосіб 2. Процес знаходження рангу можна значно спростити, якщо використовувати елементарні перетворення матриці. За допомогою елементарних перетворень матрицю можна звести до еквівалентної їй ступінчатої матриці.

6

Одержали еквівалентну матрицю, у якої є мінори другого порядку, що

Приклад 7

Знайти ранг матриці A4 2 , яка містить пропорційні рядки.

Розв’язання

У матриці перший рядок пропорційний із третім і четвертим. Перетворимо третій і четвертий рядки на нульові рядки:

7

Одержали еквівалентну матрицю, у якої один із мінорів другого порядку не дорівнює нулю. Ранг матриці A42 , r A 2 .

Приклад 8

Шляхом елементарних перетворень звести матрицю до ступінчатої і знайти ранг матриці.

Розв’язання

Виконаємо перетворення матриці.