Тема 7.С.Л.Р.Метод Гаусса- виключ.невідомих

7. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ МЕТОД ГАУССА (ВИКЛЮЧЕННЯ НЕВІДОМИХ)

Базові поняття, які вводяться при вивченні теми: системи лінійних рівнянь, рівносильні системи рівнянь, розв’язок системи рівнянь, сумісна система, несумісна система, визначена система, елементарні перетворення системи рівнянь, квадратна система, трикутна система, трапецієподібна система.

Означення. Системою лінійних рівнянь називають скінченну множину

лінійних рівнянь з n n 2 невідомими x1, x2, , xn .

Потрібно знайти значення невідомих, що задовольняють кожне з рівнянь системи:

Зауваження. Кількість рівнянь m та кількість невідомих n у системі можуть бути різними, m n або однаковими m n .

перетворюють усі рівняння системи на тотожності.

Розв'язати систему лінійних рівнянь означає знайти всю множину її розв’язків.

Означення. Систему лінійних рівнянь називають сумісною, якщо вона має принаймні один розв'язок, в іншому випадку її називають несумісною.

Означення. Систему лінійних рівнянь називають визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, або невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

Означення. Упорядковані набори чисел, які є розв’язками невизначеної системи лінійних рівнянь називають частинними розв’язками системи.

Означення. Системи лінійних рівнянь називають рівносильними, якщо вони сумісні і мають одну і ту саму множину розв’язків, або обидві системи несумісні.

1. Елементарні перетворення систем лінійних рівнянь

До елементарних перетворень системи лінійних рівнянь відносять: додавання рівнянь, множення рівнянь на число, перестановка рівнянь місцями, перестановка місцями доданків, які містять невідомі у рівняннях системи.

Зауваження. Шляхом елементарних перетворень системи лінійних рівнянь зводять до рівносильних систем, які мають більш простий вигляд.

1

2. Метод виключення невідомих (метод Гаусса)

Метод виключення невідомих базується на елементарних перетвореннях систем лінійних рівнянь з метою зведення їх до більш простого вигляду,

трутної або трапецієподібної системи.

Якщо невідомий виключений, то коефіцієнт біля нього дорівнює нулю. Метод виключення змінної є універсальним методом розв’язування

систем лінійних рівнянь. Цим методом можна розв’язувати як недоозначені системи, у яких кількість рівнянь менша за кількість невідомих, так і переозначені системи рівнянь, у яких кількість рівнянь більша за кількість невідомих.

Зауваження. Шляхом елементарних перетворень сумісні переозначені системи лінійних рівнянь зводяться до систем, кількість рівнянь у яких не перевищує кількості невідомих.

Розглянемо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими х та у, записану у загальному вигляді. Коефіцієнти при невідомих a11, a12 , a21 ,

a22 належать множині дійсних чисел,

a11x a12 y b1,a21x a22 y b2.

Розв’яжемо систему методом виключення невідомих. 1. Виключимо невідоме у.

Вирівняємо коефіцієнти при цьому невідомому у обох рівняннях. Помножимо перше рівняння на a22 , а друге рівняння на a12 і віднімемо від першого рівняння друге:

Поділимо праву частину рівняння на коефіцієнт при невідомому х. Розв'язок існує, якщо коефіцієнт при невідомому х не дорівнює нулю,

a11 a22 a12 a21 0 ,

2. Аналогічно виключимо невідоме х.

Помножимо перше рівняння на a21 , а друге рівняння на a11 і віднімемо від другого рівняння перше:

2

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

y a11 a22 a12 a21 b2 a11 b1 a21.

Приклад 1

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом виключення невідомих:

2x 4 y 1,

5x 3y 2.

Розв'язання

Розв’яжемо систему методом виключення невідомих. 1. Виключимо невідоме у.

Вирівняємо коефіцієнти при цьому невідомому у обох рівняннях. Помножимо перше рівняння на (– 3), а друге рівняння на 4 і віднімемо від першого рівняння друге:

У лівій частині рівняння зведемо подібні:

26 x 5 .

Знайдемо х.

Поділимо праву частину рівняння на коефіцієнт при невідомому х: x 265 .

2. Аналогічно виключимо невідоме х.

Помножимо перше рівняння на 5, а друге рівняння на 2 і віднімемо від другого рівняння перше:

3

2 5 x 4 5 y 1 5

5 2 x 3 2 y 2 2 . 20 y 6 y 5 4

Улівій частині рівняння зведемо подібні:

26 y 9.

Знайдемо у.

Поділимо праву частину рівняння на коефіцієнт при невідомому у: y 269 .

Відповідь. Система є визначеною. Вона має єдиний розв’язок: x 265 та y 269 .

Перевірка. Підставимо знайдені значення невідомих у перше рівняння:

Підставимо знайдені значення невідомих у друге рівняння:

Обидва рівняння перетворилися на тотожності.

Приклад 2

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом виключення невідомих:

3x 2 y 5,

9x 6 y 15.

Розв'язання

Розв’яжемо систему методом виключення невідомих.

1. Виключимо невідомий у.

Вирівняємо коефіцієнти при цьому невідомому у обох рівняннях. Помножимо перше рівняння на 9, а друге рівняння на (– 3) і віднімемо від

першого рівняння друге:

( 3) 9 x 2 9 y 5 9

9 3 x 6 ( 3) y 15 ( 3)

27 x 27 x 27 y 27 y 45 45 .

2.Одержали тотожність:

0 0 .

4

Така тотожність свідчить про те, що рівняння системи є рівносильними. Дійсно, якщо друге рівняння поділити на -3 , одержимо перше рівняння системи.

3. Множина розв’язки системи,

У обох випадках значення невідомого, який знаходиться в правій частині знайденої рівності, вибирають довільним чином і обчислюють відповідні значення невідомого, що знаходиться в лівій частині рівності.

4. Знайдемо частинні розв’язки системи:

Приклад 3

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом виключення невідомих:

x 2 y 4,

5x 10 y 2.

Розв'язання

Розв’яжемо систему методом виключення невідомих.

1. Виключимо невідомий х.

Для цього вирівняємо коефіцієнти при невідомому х у обох рівняннях. Помножимо перше рівняння на 5, а друге рівняння на (– 1). Віднімемо від першого рівняння друге:

5

( 1) 5 x 2 5 y 4 5

5 1 x 10 ( 1) y 2 ( 1)

5 x 5 x 10 y 10 y 20 2 .

2.Одержали невірну рівність:

0 22 .

Така невірна рівність свідчить про те, що перше та друге рівняння системи не є рівносильними. Якщо друге рівняння поділити на -5 , одержимо рівняння, ліва частина якого відповідає першому рівнянню системи, а праві частини рівнянь різні:

Не існує впорядкованих пар чисел, які б одночасно задовольняли обидва рівняння. Для однакових значень невідомого у одержимо з рівнянь різні значення х:

Відповідь. Система є несумісною. Вона не має розв’язків.

Приклад 4

Розв’язати систему рівнянь:

7x 2 y 3z 1,

x y 4z 5,x 4 y 6z 6.

Розв'язання

Перетворення системи виконаємо у два етапи.

Етап 1. Виконуючи елементарні перетворення системи рівнянь, послідовно виключимо невідомі х та у з ІІ-го та ІІІ-го рівнянь, рухаючись у напрямку «зверху вниз».

Крок 1.1. Переставимо місцями перше та третє рівняння:

Крок 1.2. Виключимо невідомий x з ІІ-го та ІІІ-го рівнянь. Для цього додамо до ІІ-го рівняння І-ше.

6

Крок 1.3. Зрівняємо коефіцієнти біля невідомого х у І-му та ІІІ-му рівняннях. Помножимо перше рівняння на 7. Віднімаємо від ІІІ -го рівняння перетворене І -е рівняння.

Запишемо перетворену систему:

Крок 1.4. Зрівняємо коефіцієнти при невідомому у в ІІ –ому та ІІІ –ому рівняннях. Помножимо ІІІ -є рівняння на 3, а ІІ -е рівняння помножимо на 26:

Крок 1.5. Виключимо невідомий у з ІІІ-го рівняння. Додамо ІІ -е та ІІІ -є

Звели систему до трикутного вигляду.

Етап 2. Розв’язувати систему почнемо з її останнього рівняння. При розв’язанні будемо рухатись у напрямку «знизу вгору».

Крок 2.1. З останнього рівняння знайдемо значення невідомого z . Підставимо це значення у друге та перше рівняння:

Крок 2.2. Перенесемо з протилежним знаком числа з лівої частини рівнянь у праву частину рівнянь:

7

Крок 2.3. Зведемо до спільного знаменника праву частину першого та другого рівняння. З другого рівняння знайдемо невідомий у:

Крок 2.4. Знайдене значення невідомого у підставимо у перше рівняння, спростимо дріб:

Крок 2.5. Перенесемо число у першому рівнянні з лівої частини в його праву частину.

Крок 2.6 . Зведемо праву частину першого рівняння до спільного знаменника::

8

Відповідь. Система є визначеною. Вона має єдиний розв’язок:

Приклад 5

Виконавши послідовне виключення невідомих, звести систему лінійних рівнянь до рівносильної трапецієподібної системи,

x1 2x2 x3 x4 1,

x1 3x2 x3 2x4 4,2x1 x2 x3 x4 1.

Розв'язання

Перетворення рівнянь системи будемо виконувати покроково. Перетворення системи будемо виконувати, рухаючись у напрямку «зверху вниз».

Крок 1. Виключимо невідомий x1 із ІІ-го та ІІІ-го рівнянь. Для цього спочатку зрівняємо коефіцієнти біля невідомого x1 у І-му та ІІ-му рівняннях.

Віднімемо від ІІ-го рівняння перетворене І -е.

Зрівняємо коефіцієнти біля невідомого x1 у І-му та ІІІ-му рівняннях. Віднімаємо від ІІІ -го рівняння перетворене І -е рівняння.

9