4.2.Застосування метода найменших квадратів для знаходження виду математичної залежності між фізичними величинами.
Закономірні зв'язки між фізичними величинами, що встановлюються шляхом експериментальних досліджень, бажано подавати у аналітичному вигляді, тобто у вигляді формул. Попередній вигляд формули встановлюється шляхом неформального аналізу отриманих даних. При цьому вважається, що шукана залежність може мати вигляд гладкої кривої. Вибравши вид формули, знаходять її параметри шляхом інтерполяційного наближення до експериментальних даних на основі вибраних критеріїв відповідності. Наприклад, можна поставити вимогу, щоб шукана інтерполяційна крива проходила через всі експериментальні точки. Ця вимога справедлива коли координати точок задані як точні. Іноді ставиться вимога мінімізації максимального відхилення цих точок від інтерполяційної кривої .
В основі метода найменших квадратів (МНК) покладене припущення, що оптимальним критерієм вибору параметрів інтерполяційної кривої можна вважати мінімум суми квадратів відхилень експериментальних точок від інтерполяційної кривої . При умові, що експериментальні точки підкоряються нормальному розподілу, метод найменших квадратів дозволяє знайти параметри інтерполяційної кривої і їх дисперсію, яка враховує як випадкове розсіювання експериментальних точок, так і невідповідність вибраної інтерполяційної формули істинній залежності між фізичними величинами.
метод найменших квадратів з деяких принципових міркувань
застосовується лише для лінійної інтерполяції. Нелінійні залежності перед застосуванням методу найменших квадратів необхідно лінеарізувати.
Розглянемо схему використання мнк для випадку лінійної залежності між фізичними величинами х (аргумент) та y (функція), що має вигляд
(21.0.)
де α і b –шукані параметри інтерполяційної формули.
Експериментально знайдені масиви значень Yі , які відповідають масиву значень Хі . Тобто можна записати для n пар Х та Y
(22.0.)
Параметри α і b повинні задовольняти умові мінімальності суми квадратів відхилень експериментальних точок від інтерполяційної лінії, тобто
(23.0.)
Для нев'язки S , використовуючи (23.0.) можна записати
(24.0.)
Після диференціювання цього виразу по α і b , шукаємо умови екстремуму – мінімум суми квадратів відхилень експериментальних точок від інтерполяційної лінії
(25.0.)
врахувавши
, що
.,
розв'яжемо систему рівнянь (25.0.)
(26.0.)
де
-
стандартні відхилення (середньо-квадратичні
похибки) виміряних величин, а
- коефіцієнт кореляції між Х та Y.
Якість наближення експериментальної залежності інтерполяційною формулою (24.0.) можна оцінити , розрахувавши нев'язку
.
(27.4.)
Очевидно, що величина коефіцієнта кореляції (0 r 1) визначає степінь наближення масиву експериментальних точок до лінійної залежності. При r = 1 має місце строго лінійна залежність між Х та Y, а в інших випадках – лише наближено лінійна.
Степінь надійності отриманих параметрів α і b оцінюється довірчими межами надійних границь
.
(28.0.)
де tр- коефіцієнт розподілу Ст'юдента для масиву з n вимірів при довірчій імовірності р .
Математичні програмні системи такі, як Grapher, Origin чи MathCad дозволяють одночасно лінеарізувати інтерполяційні функції, знаходити їх параметри і оцінки надійності інтерполяції.
Література
1.0. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин. Л.: Наука, 1974,-108 с.
2.0..Бурдун Г. Д., Марков Б. Н. Основы метрологии. 2-е изд. М.: Изд-во стандартов, 1975.- 335 с
3.0..Рабинович С.Г. Погрешности измерений.-Л.:Энергия.1978.-262 с.
4.0..Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств. Л.: Энергия, 1968.-248 с.
5.0..Дринфельд Г.И. Интерполирование и способ наименших квадратов.К.Вища школа.1984.-102с.