- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
Тема 10. Определенный интеграл.
Дается понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов. Использование определенного интеграла в экономике.
Пусть на [a;b] задана f(x). Разобьем отрезок на n частей точками. На каждой части выберем точку Мк. Вычислим сумму и назовем ее интегральной. Таких сумм можно составить сколько угодно (изменяя способ разбиения и выбор токи Мк на каждом участке разбиения). Вычислим предел интегральной суммы приn и максимальном 0. Если указанный предел существует независимо от способа разбиения [a;b] на части и выбора на каждом участке разбиения, а только в зависимости отf(x) и длины отрезка [a;b], то такой предел назовем определенным интегралом и обозначим . В этом определении : - символ определенного интеграла; f(x) – подынтегральная функция; а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; х (под знаком d) – аргумент интегрирования.
Теорема существования. Если f(x) ограничена на [a;b] и непрерывна на нем всюду кроме конечного числа точек разрыва 1-го рода, то определенный интеграл существует.
Основные свойства ОИ.
. Док. Следует из свойства предела.
. Достаточно в качестве одной из точек разбиения выбрать точку С.
. Т.к. константу можно выносить за знак предела.
. Трапеция вырождается в прямоугольник.
f(x)dx. Т.к. точки разбиения только поменяют порядок.
Формула Ньютона-Лейбница .
Методы нахождения определенного интеграла
Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Теорема. Если х=ф(t) непрерывна на [ ; ] оси t вместе со своей производной x’=ф’(t); при изменении t от до значение ф(t) не выходит за пределы [a;b]; ф()=а , ф() = b, то для непрерывной на [a;b] функции f(x) справедливо равенство f(x)dx=f(ф(t))ф’(t)dt (7.3)
называемое формулой замены переменной в определенном интеграле.
Док. В самом деле f(t)dt= F(b)-F(a) , где F(x) первообразная для f(x). Т.к. при этом F(ф(t)) – есть первообразная для f(ф(t))ф’(t), непрерывной на
[ ; ], то По Ньютону-Лейбницу имеем f(ф(t))ф’(t)dt =F(ф()) - F(ф())= F(b)-F(a) =f(t)dt.
Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х, на некоторое выражение, а выражение, связывающее х заменяют одной переменной. А далее – как обычно. Не следует забывать также о смене пределов интегрирования в момент замены, чтобы не возвращаться к исходной переменной.
Интегрирование по частям. Пусть u=ф(х) и v=f(x) непрерывны и дифференцируемы на [a;b]. Проинтегрируем равенство (uv)’=u’v+v’u на этом отрезке и получим (uv)’dx= u’vdx + v’udx. Но т.к. uv есть первообразная для (uv)’, то получаем v’udx = uv- u’vdx (7.3)
Формулу (7.3) называют формулой интегрирования по частям в ОИ