Тема 9. Неопределенный интеграл.

9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Определение. F(x) называют первообразной f(x) (для f(x)) на [a;b] , если для любого х из этого отрезка F(x) дифференцируема и F’(x)=f(x). Так F(x)=x² будет первообразной для f(x)=2x для всех действительных чисел.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) первообразные f(x) на [a;b] , то любого х из этого отрезка имеет место равенство F₁(x) - F₂(x) =С .

Следствие. Если F(x) одна из первообразных для f(x) то любая Ф(х)=F(x)+C – тоже первообразная.

Так Ф(x)=2x +С будет первообразной f(x)=x² для всех действительных чисел.

Определение. Множество первообразных для данной f(x) на [a;b] называют неопределенным интегралом и обозначают .

Из определения следует справедливость тождества =F(x)+C.

Термины и обозначения: f(x) - подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; х ( записанный в символе dx) - аргумент (переменная) интегрирования; - символ интегрирования.

Все рассмотренное – процесс, обратный поиску производной.

Следствия.

1.Производная от НИ равна подынтегральной функции ’=f(x).

2.Дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению d =f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от производной равен подынтегральной функции с точностью до постоянного слагаемого С. F’(x)dx= F(x)+C.

4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен выражению под знаком дифференциала точностью до постоянного слагаемого С. dF(x)= F(x)+C.

Все это разные вариации определения.

Свойства.

1.Константу - множитель можно выносить из-под знача НИ. =кF(x)+C.

2.НИ от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. =+.

3.Независимость от аргумента. === F(x)= F(u)= F(Cosx) .

Так Cosx d(Cosx)=, (lnx+1) d(lnx+1)= как и для хdx =.

9.2. Таблица основных неопределенных интегралов

1.	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

В отличие от производных, где каждой ситуации предписано правило ее обработки, при поиске интегралов вся теория заканчивается на этой таблице. Фактически для поиска интеграла остаются только определение и следствия из него, свойства и таблица. А это значит, что все остальное следует преобразовывать эвристическими приемами (или по уже готовым рекомендациям, но не правилам!) к таблице и определению. В качестве контроля ответа может служить только обратный процесс – от результата возьми производную. И, если результат равен подынтегральной функции, то имеется некоторая степень уверенности в правильности выполнения интегрирования.

9.3.Методы интегрирования.

Пусть х=ф(t) –монотонная и непрерывная на некотором промежутке функция. Если на соответствующем промежутке изменения переменной х функция f(x) интегрируема, то справедливо равенство =.

Записанное равенство называют формулой замены в неопределенном интеграле. Применяют ее тогда, когда правая часть оказывается ближе к табличному интегралу (см. Комментарий выше).

Док. В самом деле, т.к. F(x) - первообразная для f(x), то F(ф(t)) – будет первообразной для f(ф(t))ф’(t). И потому F’(ф(t))= F’_ф(ф(t))ф’_t(t)= f(ф(t))ф’(t). Откуда следует f(ф(t))ф’(t)dt= F(ф(t))+C= F(x)+C=.

Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х на некоторое выражение, а выражение, связывающее х, заменяют одной переменной. А далее – как обычно.

Пример.

Найти = .

Иногда замену переменных используют в еще одном виде – подведении под знак дифференциала, используя простое соотношение dx=d(ax+b) для любых а 0 и в. По знак дифференциала подводят такую группу, чтобы интеграл сменил аргумент интегрирования (см. следствия из определения) и при этом принял табличный вид .

Пример – результат совпадает с предыдущим примером .

Пусть каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и существует первообразная для произведения u’(x)v(x). Тогда на этом промежутке существует первообразная для u(x)v’(x) и справедливо равенство

, называемое формулой интегрирования по частям.

Рекомендации по применению этой формулы.

Возможно одного шага применения формулы недостаточно. Тогда ее применяют кратно.

Возможно применение формулы приведет к сохранению подынтегрального выражения. Не следует тревожиться по такому случаю, т.к. это даже хорошо.

Выбор частей u и v основан на опыте. Только решение конкретных примеров обеспечит навыком выбора частей.

Пример. Вычислить интеграл

Некоторые классы интегрируемых функций.

Т.к. в практических приложениях предстоит интегрировать выражения разной сложности, то следует научиться отличать, то что приводит к конкретному ответу от того, что ни при каких условиях не приведет к результату. Умению отличать одно от другого и приемам интегрирования посвящен данный раздел.

Рассмотрим некоторые классы функций, для которых опытным путем разработаны приемы отыскания неопределенных интегралов. Фактически приемы эти приводят к таблице основных интегралов. Отметим также, что в интегральном исчислении принята такая схема работы – если новый , ранее неизвестный интеграл преобразован к уже известному классу, задача считается решенной.